卷积，具有丰富多彩的物理意义

数学里有一种运算，叫做卷积。

科学网上有个栏目，叫《大话卷积》。

俺也来凑个热闹，欢迎用功夫的拍砖！

卷积是解决晶体结构离不开的计算手段，就像自然界的晶体是丰富多彩的一样，卷积的物理意义也是丰富多彩的。如果你想体会卷积的奥妙，那就从晶体（X射线衍射）学入门吧！

数学里的加法强烈要求两个量的单位（量纲）相同。

例如，2只羊＋3只羊＝5只羊。

如果把题目修改为：

2只羊＋3头牛＝？

显然，数学家找不到以上题目的答案，除非把题目本身作为答案。

物理学家使用卷积可以把这个题目做出来。

（注意，俺没有贬低数学家的意思，卷积就是这个样子，在数学里显得干瘪，在物理学里却血肉丰满）

再举一个经典的例子，密立根测定电子电荷的时候，得到一个公式：

Q＝ne，式中Q为油滴的电荷，可以测量；n是一个未知的整数，e也是一个未知数。一个方程里有两个未知数，数学家解不了这个方程，作为物理学家的密立根却解出了这个方程，第一次求出了电子电荷。不过密立根为了求解这个方程，前后用了大约11年的时间，因此获得了诺贝尔物理学奖。

正如《大话卷积》栏目的几位博主们所说，讲卷积离不开傅立叶变换。用信号处理来说明傅立叶变换，根本不能充分显示傅立叶变换的妙处。

在晶体衍射里，傅立叶变换关联着两个完全不同的空间：现实的笛卡儿空间和倒易的衍射空间。

我们知道数学里的矩阵，它的物理意义也是很丰富的。

例如，魔方的转动可以用矩阵来描述，魔方的状态也可以用矩阵来描述。显然，转动是一种操作，而状态就是魔方的图案。

对于卷积也是一样的。在数学里，卷积只是一种运算。但是这种运算可以表达的物理意义是丰富多彩的。

在晶体X射线衍射中，实验测量出的衍射峰的线形h，包括两部分：晶体的贡献f和衍射仪器的贡献g，h、f和g三者的关系满足卷积运算：

晶体对衍射（线形）的贡献＋仪器对衍射（线形）的贡献，这就是一种物理学的“加法”，相当于“2只羊＋3头牛”。从数学上很难理解“2只羊＋3头牛”的命题，但是从物理学却很好理解，因为物理学可以把2只羊和3头牛理解为都是由分子组成的，这样描述2只羊的单位和描述3头牛的单位就一样了，都是分子单位。满足严格的数学要求。

这两个是经典的衍射问题，信号处理可能会遇到类似的问题。

 

根据公式（1）和公式（2），再考虑到卷积的定义和卷积定理，这是可以理解的。

（图2、图3和图4来自外国教授讲光学的PPT；图5和图6来自一个外国教授讲晶体衍射的PPT；俺使用了他们的原图素材，在此算是一个致谢！）