我想介绍的依辛模型第二个应用反映出依辛模型本身巨大的包容性和宽阔胸怀。人的胸怀与其比起来可能差很远，否则依辛模型的推广应用为何经历了数十年和成千上万的科学人参与呢(说笑)。：））

我们每个人都熟悉自然界中的一类现象：肥皂泡。街上的小孩儿们用一个环浸到肥皂水中取出，环面就布满了大大小小的皂筏(foams)。你观察她一会儿，就会发现这些皂筏不稳定，她们相互合并长大，小的皂筏越来越小直到消失，而大的越来越大，总的皂筏平均面积是越来越大的。这就是有名的皂筏长大。

我们都明白，皂筏长大背后的物理不难理解：为了降低界面张力。如果皂筏不破，在环面积不变的情况下，小的皂筏单位面积对应的边界长，所以易于被大皂筏吃掉，从而靠皂筏长大来降低界面能。

我们感兴趣的问题是这个皂筏长大的动力学是什么？其拓扑行为满足什么规律？为什么这么说呢？稍微物理一点的语言是这样：物理系统的演化无外乎是其在时空中的特征尺度演化。找到这个特征尺度的长大规律可是有用得很！皂筏长大、晶粒长大、畴长大、细胞长大、。。。。如此等等，自然界靠界面能驱动的特征尺度长大过程比比皆是，真是广泛得很呐！利用这种演化来为我们服务的例子也是层出不穷的！

这个问题与前面的两相合金畴长大问题看起来如出一辙，大同小异。但是这个小异却注定了依辛模型本身不能直接应用，因为依辛模型只有两个自由度：自旋向上或者向下。依辛模型之所以可应用于两相合金畴长大是因为其中只有两种畴，且两种畴的量是守恒的。皂筏和晶粒系统其内部的自由度就多得很。以晶粒系统为例：一个多晶粒的物理体系中每个晶粒都有其自己的空间取向，所有取向就绝对不是两个，而是成千上万个！

对这个问题的理解和进展似乎一直等到1950年代澳大利亚物理学家Potts提出以其名字命名的堡兹模型之后。将依辛模型中自旋的取向自由度放宽到Q个，这个Q可以是一个很大的数。这样，每一个取向自由度代表一个皂筏或者一个晶粒的空间取向。以二维空间为例，两个相邻的、取向度分别为q₁和q₂的晶粒之间交互作用为：

H= - J•cos[2•pai•(q₁-q₂)/Q]，这里pai是圆周率，J是界面能因子

可以看到，在Q=2时，上式就是依辛模型的哈密顿了。堡兹模型在二维情况下也称为XY模型；在三维或者更高维情况下，只不过用空间球面角矢量标乘来代替上面的余弦函数，物理图象则是一样的。

堡兹模型严格求解自然就更难了，二维情况下的解似乎到现在也没有什么进展(也许有了我不知道)。美国东北大学的吴法岳先生对堡兹模型有很深造诣，曾经在RMP上写过一篇很长的综述，虽然很难懂啊。因此，对堡兹模型的研究主要是蒙特考罗的事情。看看，又蒙特考罗了不是？呵呵。

实际模拟方面，基本代数规则是Glauber代数：非能量降低的过程不可以发生！几十年来的研究结果极其漂亮地reproduce了我们观察到的皂筏和晶粒长大现象，而且也促进了对复杂空间对称拓扑结构的理解。

最惊奇的是：皂筏或者晶粒的平均尺寸R与时间t的关系是 R~t^1/d！美丽之神再一次眷顾了依辛模型、眷顾了还健在的堡兹先生、更眷顾了象我这样靠“贩卖”依辛模型糊口的人。

我说过：Ising是播种机，Potts是克隆器。他们是科学传播和耕作的使者，也是社会发展的代表与缩影。

伊辛是德国犹太物理学家，堡兹是澳大利亚物理学家。他们的贡献远不止限于物理学，对于工程技术和社会都有重要影响。伊辛是“我在歌唱”，堡兹是“细胞组合”！

Ising是播种机，Potts是克隆器！

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