地震地热说原理：知识库10

球泡动力学(2)

本文节译自《CAVITATION AND BUBBLE DYNAMICS》by Christopher Earls Brennen  © Oxford University Press 1995。此书从网上免费下载。作者只节译自己所需章节，用作公益性科学研究的基础资料，非商业用途。作者不懂节译是否涉及版权问题。如有不当，请专家们指正。谢谢原作者，也谢谢张宇宁先生推荐。           Seisman  2011.8.6 记

2 球泡动力学

2.4 没有热效应的情形

首先，我们来讨论在没有任何显著的热效应空泡动力学的一些特性。这种空泡的动态行为被称为“惯性控制”，以区别于在后面讨论“热控制”行为。在这种情况下，液体的温度是假设不变的，Rayleigh – Plesset 方程2.12中的第二项（2）为零。

此外，还假设空泡中的气体行为是多变的，使得

 P_G = P_Go (R₀/ R)^3k               (2.26)

式中 k 近似为常数。显然，K = 1 意味着空泡的温度恒定，K =γ 模拟绝热行为。应该认识到，准确的评价空泡中的气体行为需要求解具有适当边界条件，其中包括在泡壁的热边界条件的泡沫内容的质量，动量和能量方程。这种分析可能会假定为球对称的。但是，适当的方法是观察任何非球对称的内部运动往往会混合空泡内容，或许能改善多变假设的有效性。

   按照上述假设，Rayleigh – Plesset 方程变为 

         (2.27)

式中的上标圆点表示d / dt。公式2.27没有粘性项，是 Noltingk 和 Neppiras（1950，1951）首先推导和使用的，有粘性项的是 Poritsky（1952）首先推出的。

  输入P_∞（t），温度T_∞，和其他的常数，方程2.27可以很容易地求得R（t）的数字。初始条件还要求，在空化流动的背景下，可以适当的假设微泡半径 R_O 在压力 P_∞（0）的流体里在 t = 0 时是平衡的。所以， 

P_Go = P_∞ (0)- P_V (T_∞) + 2S / R₀               (2.28)

而且 (dR/dt)_t=0=0。方程2.27在这些条件下，当压力 P_∞（t）先降到 P_∞（0）以下然后又恢复到其原始值时的一个典型的解如图2.3所示。这个解的主要特点是描述了空泡通过任何低压区的反应特征，也表现了方程2.27的强非线性。生长是比较平稳的，最大尺寸发生在最小压力之后。溃灭过程中是完全不同的。空泡的溃灭是灾难性的，包含多次地反弹和溃灭。在没有机械能损耗，比如没有粘度的情况下，反弹将无衰减地、无限期地持续下去。

方程2.27的解析解仅适用于 p_∞ 阶跃函数变化的情形。

然而，这些解揭示的一些更普遍的压力历史 P_∞（t） 的特点，因此是很有价值的。常数值 P_∞（t> 0）用 P_∞* 表示，则方程2.27可以通过乘以 2R²dR/dt 整合形成时间的导数。只有粘性项不能以这种方式整合，因而以下的讨论只局限于无粘的情形。经过整合，应用程序的初始条件（dR / dt）_{t= 0} = 0 得 

     (2.29)

式中，在等温气体的情形下，含 P_Go 的项变为

              (2.30)

图2.3  Rayleigh - Plesset 方程对球形空泡的大小/初始大小R/R0的典型解。

核粒进入无量纲时间为0的一个低压区，然后对流返回到500无量纲时间的原始压力区。

低压区是正弦的和对称的，约250无量纲时间。

整理方程2.29，得 

         (2.31)

式中，当 k=1 时，气体项可取为 

2P_Go / x³ ln x               (2.32)

这个积分可以间接地求得 R(t)。

首先考虑当 p_∞* <p_∞(0) 时这个解所展示的空泡生长的行为特征。方程2.29表示当R»Ro时的渐近生长率为 

              (2.33)

因此，一个持续时间为 t_A 的加速初期，可以用下述关系来估计，其加速度值为 

              (2.34)

故有

              (2.35)

接触面随后的速度是相对恒定的。然而应该强调的是方程2.33描述了空泡的爆炸性生长，其容量体积的增加为 t³。

   现在来对比由 P_∞ 到 P *_∞ 的增加引起的空泡行为和造成的溃灭。在这种情况下，当 R « R_O 时公式2.29变为

        (2.36)

式中，在 K = 1 的情况下，气体项用 2p_Go ln（R_O / R）/ρ_L 取代。然而，大多数空泡溃灭的速度很快，以致气体的行为接近于绝热的而不是等温的，因此我们会假定 k 不等于1。

对于一个具有大量气体含量的空泡，公式2.36给出的渐近溃灭速度不会达到，而空泡只会轻轻震动而变成一个新的规模较小的平衡半径的空泡。另一方面，当空泡包含很少气体，向内的速度将不断增加（如 R ^{- 3 / 2}），在方括号内的最后一项会达到与其他项相比较的量级。溃灭的速度会减小，而由下式给出的最小尺寸的空泡会反弹回来。 

           (2.37)

请注意，如果 P_Go 很小，则 R_min 甚至会非常小。则最小半径泡内气体的压力和温度可由 P_max  和 T_max 给出，且 

P_max = P_Go [(k - 1)(P*_∞ - P_V – P_Go+ 3S / R₀) / P_Go]^k/(k-1)           (2.38)

T_max = T₀ [(k - 1)(P*_∞ - P_V – P_Go+ 3S / R₀) / P_Go]             (2.39)

我们稍后会点评论这些温度和压力的量级（见3.2节）。

  ————

  气体含量为零的情况下，提出了一个特殊的，虽然有点假设性的问题，因为很明显空泡将达到零大小，此时会有一个无限的外来速度。在没有表面张力和气体含量的情况下，瑞利（Rayleigh 1917）得到公式2.31求取时间 t_TC，要求从 R = R_O 到 R = 0 的全溃灭： 

            (2.40)

  正是在这一点上必须强调，虽然上述空泡生长结果是相当实用的，但泡沫破灭的结果可能会相当误导。除了忽略的热效应，分析是基于两个可能违反溃灭过程的假设的。以后我们将看到，溃灭的最后阶段可能涉及到这样的高速度（和压力），以致液体不可压缩的假设已不再适合。但是，也许更重要的是，它会蒸发（见第五章），使得空泡溃灭失去球对称的方式，以致产生重大的工程后果。

2.5 蒸汽泡/气泡的稳定性

  除了空泡生长的特征，和最后一节讨论的溃灭过程，还必须认识到均衡条件

P_V – P_∞ + P_GE - 2S / R_E = 0            (2.41)

可能并不总是代表在气体分压 P_GE 下 R = R_E 的稳定的平衡状态。

设空泡大小从 R = R_E 到 R = R_E（1+ε）有一个小扰动，ε« 1，来看Rayleigh - Plesset方程的响应结果。注意必须区分两种可能的情形：

i.                    气体的分压保持 P_GE 不变。

ii.                  空泡内的气体质量和温度保持不变。

从实际情况来看，情形（i）的扰动要有足够长的持续时间以保证液体中有足够的质量扩散，所以气体分压一直保持在适合溶解在液体中的气体浓度的值上。另一方面，情形（ii）被认为是显著气体扩散的速度过快。由此得到，在 Rayleigh – Plesset 方程2.27中情形（i）的气体项为 P_GE / ρ_L，而情形（ii）的气体项为 p_GER_E^3k/  ρ_LR^3k。如果定义情形（i）的 n 是零而情形（ii）的 n= 1，对 Rayleigh – Plesset 方程替代 R = R_E（1 +ε）则得 

            (2.42)

请注意，如果

2S / R_E > 3nkP_GE             (2.43)

右侧有相同符号的 ε，如果反之则为不同的符号。因此，如果上述不等式，方程2.42左侧意味着空泡半径的速度和/或加速扰动时具有相同的符号，并因此平衡是不稳定的，因为由此产生的扰动将导致空泡进一步从 R = R_E 偏离。另一方面，如果 np_GE> 2S/3R_E，则平衡是稳定的。

首先考虑情形（i），因为如果 n = 0 则不平等2.43始终成立，因而始终是不稳定的。这是一个简单的事实的重述（将在2.6节中讨论），如果时间允许大规模扩散，则空泡或者生长，或者无限期地收缩。

情形（ii）更有趣，因为在许多工程实际情况的压力水平改变超过了比显著气体扩散所需时间要短的一段时间。在这种情况下空泡的稳定平衡需要 

            (2.44)

式中 m_G 是空泡中气体的质量，K_G 是气体常数。事实上，给定气体的质量，就存在一个临界空泡大小 R_C，为 

            (2.45)

  这个临界半径是布莱克（Blake 1949）与 Neppiras 和 Noltingk（1951）首次发现的，通常称为布莱克临界半径。所有半径 R_E < R_C 的空泡可以存在于稳定的平衡之中，而所有半径 R_E > R_C 的空泡必定不稳定。这个临界尺寸可以通过减少环境压力从 P_∞ 到临界值 P_∞C 来实现。根据公式 2.45 和 2.41，有 

           (2.46)

通常称为布莱克临界压力。

  图2.4是等温情况下（K = 1）的图解，其中实线代表空泡的尺寸 RE 的平衡条件与张力（P_V - P_∞）的关系，包括对空泡内的不同气体固定质量和固定的表面张力。任一个特定的 m_G 的临界半径对应于每条曲线的最大值。峰值轨迹是虚线所示 R_C 值的曲线，其公式为（P_V - P_∞）= 4S / 3R_E。虚线右边的区域代表着不稳定的平衡条件。这种图形表示源自Daily 和 Johnson（1956），对于空泡受到递减的压力时的准静态响应的可视化是非常有用的。由第四象限的环境压力 P_∞> P_V 开始，并假设空泡中的气体质量是常数，半径 R_E 会随着（P_V - P_∞）的增加而增大。空泡会通过一系列稳定的平衡状态，直到达到特定的临界压力相应的最大值。相对于这一点以下，p_∞ 值略有下降就会将导致空化爆炸性地生长，无论 P_∞有没有进一步地减小。事实上，从这种分析可以看出，液体的临界张力应是 4S / 3R 而不是第1章中的 2S / R，因为稳定平衡的条件在

           (2.47)

范围内是不存在的。

图2.4 作为气泡内不同质量气体张力的函数的稳定和不稳定空泡的平衡半径

稳定的和不稳定的条件由虚线分隔

改编自Daily 和 Johnson（1956）

图2.4还发现其他问题。注意，对于一个给定的亚临界张力存在两个交替的平衡状态，一个较小的稳定状态和一个较大的不稳定状态。假设，一个处在较小稳定状态的空泡也受到压力振荡足以引起空泡瞬间超过 R_C 的大小，它会超过边界暴发性地生长。这种效应对于理解初始空化或液体对声场响应中的湍流作用是很重要的（见第4章）。

这种稳定的现象在许多空泡流中有重要的影响。为了认识这一点，我们必须设想一个空泡流中低压区内对流空化核大小的频谱。然后将公式2.41和2.47中的 P_∞ 取为液体中环绕空泡的本地压力，而且 P_∞ 必须小于引起暴发性空化生长的压力 P_V。从以上分析可以看出，所有的核粒，其大小 R 大于某些临界值会变得不稳定，爆炸性的生长，形成空洞，而比临界规模小的核粒反应被动，因此不会变得肉眼可见。虽然空泡的实际响应是动态的，P_∞ 不断变化着，我们仍然可以预见临界核粒大小会约为 4S / 3（P_V - P_∞）*。其中（P_V - P_∞）*是某些低压区张力的典型测值。需要注意的是压力水平 P_∞ 越低，临界尺寸就越小，被激活的核粒数越多。空泡数增加所占的比重在空化流的压力减小时可以观测到。

图2.5 根据Rayleigh-Plesset方程在绕轴对称半径R_H的头型流动中作为

原核大小R_O、空化数σ函数的空化泡生长的最大尺寸R_M

Weber数ρ_LR_HU_∞² / S =28000（据 Ceccio 和 Brennen 1991）

  这种影响的一个定量的例子如图2.5所示。其中给出了由 Rayleigh – Plesset 方程整合的绕轴对称的头型流（headform）空泡的结果。图中显示了作为原核大小的函数空泡所能达到的最大尺寸。图中取典型的韦伯数 ρ_LR_HU_∞²/ S=28000，其中 U_∞ 为自由流的速度，R_H 为头型半径。绘制的4个不同空化数 σ 的数据，代表不同的环境压力水平。请注意，σ<0.5的曲线都在某些临界原核大小处呈垂直段，而且临界尺寸随 σ 的减小而减小。这个数值结果和其他空化流的结果表明，临界尺寸 R_C 完全符合早期表达的无量纲版本

R_C ≈ kS / ρ_L U²_∞(- σ - C_pmin)            (2.48)

式中 C_pmin 为空化流中的最小压力系数，κ 为归一化因子。

  由图2.5还可看到，不论其初始大小为多大，所有不稳定的核粒生长大致达到相同的最大尺寸。这是因为渐近生长率和可生长时间两者与原核的大小无关。由公式2.33的生长率大约为

           (2.49)

此外，如果最低压力点附近的压力为

C_p = C_pmin + C_p*(s / R_H)²            (2.50)

式中 S 是沿表面测量坐标，R_H 是典型的流体尺寸，C_P* 是典型的归一常数，则典型的可生长时间 t_G 近似为 

           (2.51)

于是最大尺寸 R_M 大致为

           (2.52)

因此只能在有意义数据范围内小心地改变空化数。

2.6 质量扩散引起的生长

  在本章考虑的大多数情况下，都假定在空泡和液体之间杂质气体大规模转移事件的速度过快。因此，我们在2.3节和其他地方假设空泡内的杂质气体质量保持不变。很方便重新来考虑这个问题，在这一点上，质量扩散的分析方法，显然与热扩散很相似（Scriven 1959年）。此外，还有一些问题需要分析空泡内气体质量的增加率或减少率。一个最基本的问题是，任何及所有的充满气体的微泡，如果周围环境的压力足够高的话，在不完全饱和液体（特别是在水中）都会溶解。Henry定义了一个空泡内的气体分压 P_GE 与溶解在液体中气体的饱和浓度 c_∞ 平衡，即

P_GE = Hc_∞            (2.53)

式中 H 是亨利定律气体和液体的结合常数。（注意 H 是随温度下降的。）因此，如果环境压力 P_∞ 大于（Hc_∞ + P_V - 2S / R），空泡应溶解完全消失。正如我们在第1.12的讨论，经验与这一理论相反，即使当液体受到几个大气压的长时间压力，微泡仍然存在。

  传质过程的分析，应注意到液体中的气体浓度 c（r，t）是由与公式2.15形式相同的扩散方程控制的 

          (2.54)

式中 D 是质量扩散率。在正常温度下水中的空气扩散率通常为2 × 10^-5cm²/sec。正如Plesset 和 Prosperetti（1977）所证明，由于质量扩散所致的典型空泡生长率是如此缓慢，以致对流项（公式2.54左侧的第二项）是微不足道的。

  最简单的问题，是一个半径为 R 的空泡，在在一个固定的环境压力 P_∞ 的液体中，气体浓度为 c_∞。在没有惯性影响的情况下，空泡内的气体分压为 P_GE，即 

P_GE = P_∞ - P_V + 2S / R           (2.55)

因此，液体界面的气体浓度 c_S = P_GE/ H。Epstein 和 Plesset（1950）发现在最初均匀气体浓度 c_∞ 的液体中空泡问题当时间 t = 0 时的一个近似解，其形式为 

          (2.56)

式中 ρ_G为空泡内的气体密度，c_S 是由公式2.55给出的界面分压下的饱和浓度（蒸气压在分析中忽略不计）。公式2.56的最后一项，R（πDt）^-1/2，来自空泡表面液体中生长扩散边界层。这一层的生长为（Dt）^1/2。当 t 很大，公式2.56的末项变小，则生长特征近似为 

          (2.57)

在这里，为简单起见，我们忽略了表面张力。

  评估一下典型的生长期（或收缩期）是有益的。由公式2.57，完全溶解所需的时间是 t_CS，即

          (2.58)

（c_S - c_∞）/ ρ_G 典型值为 0.01（Plesset和Prosperetti 1977），再加上上面给出的 D值，一个 10m 空泡完全溶解约为 2.5s。虽然短暂，但相比多数空泡的动态现象标准，这是一段很长的时间。

事实上，微泡溶解在几秒钟内完成，为什么空化核无限期存在的问题尚有待解决。一种可能的解释是，该接触面是固定的表面污染影响。另一个可能是，空泡是嵌入在固体颗粒上的，因而抑制气体的溶解，即所谓的哈维核嵌入。以前在第1.12节讨论了这些问题。

最后，我们注意到，有一个由周边压力震动引起的重要的质量扩散效应，可导致空泡非线性生长，即使在亚饱和液体之中。这就是所谓的``纠正扩散“（rectifieddiffusion），稍后将在4.9节讨论。

（陈立军、陈晓逢译，陈立军校）