须特别注意异于通常的极端条件

有博友提出如下问题，

【题目】一个小刚球，半径可以忽略不计，质量为m; 一个大刚球，半径为r, 质量为M。质量M远远大于质量m（即：m/M --> 0）。现将小球置于大球顶部（不用胶水粘住），让它们从距离地面h的高度自由落体。

【问题（1）】大球落地的时候的速度？

【问题（2）】大小球落地后，反弹的初速度是多少（以算出问题（1）的答案，V(1)，为单位）？会反弹到多高？

【问题（3）】大球第N次着地时，小球在哪里？

【问题（4）】 在时间趋于无穷大的区间内，小球最高能弹到多高？

【问题（5）】 系统出现混沌了吗？系统的李雅普诺夫指数是多少？

这个问题其中速度，与光速相比，应完全可以忽略，即：可判定是个经典力学的，中学生应也能解答的，简单问题，却竟然引出了那么多问题？为难了那么多专家？

这是为什么？

看来，这是因为，它给了异于通常的极端条件：小球的半径可以忽略，大球的质量M远远大于小球的质量m（即：m/M -->0）。而造成近似法与通常的差异，和引起疏忽某些条件。例如：

【问题（1）】大球落地的时候的速度？

1．求两球的质量中心

通常：两球系统总质量：M+m，质量中心距地表的高度：h’=(Mh+m(h+r))/(M+m)，

直接按m/M -->0：两球系统总质量近似为：M，质量中心距地表的高度近似为：h，

2．求大球落地时的速度v1

通常：按两球系统质量中心距地表的高度从h’=(Mh+m(h+r))/(M+m)降到r，由

位能的减少等于动能的增加，求得：

V1=(2((Mh+m(h+r))/(M+m)-r){M+m}g)^(1/2)

=(2((Mh+m(h+r)-r(M+m))g)^(1/2)

=(2(M(h-r)+mh)g)^(1/2)

直接按m/M -->0：按两球系统质量中心距地表的高度近似为：h，由

位能的减少等于动能的增加，求得：

V1=(2M(h=r)g)(1/2)

即：通常与直接按m/M -->0，已有差别！

【问题（2）】大小球落地后，反弹的初速度是多少（以算出问题（1）的答案，V(1)，为单位）？会反弹到多高？

3. 大小球落地后，反弹的初速度是多少？

通常：落地后，大球与地碰撞，认为地静止，质量无穷大且完全弹性，大球以V(1)从地面反弹。

直接按m/M -->0:落地后，大球与地碰撞，认为地静止，质量无穷大且完全弹性，大球以V(1)从地面反弹。

小球在大球顶相对质量无穷大且完全弹性的大球，以2V(1)碰撞，以2V(1)从大球顶反弹。以3V(1)从地面反弹。

即：通常与直接按m/M -->0，就有显著差别！

因而，在以此为基础的进一步计算通常与直接按m/M -->0，就都有显著差别！

而按通常方法计算，就会偏离直接按m/M -->0，的结果。

因此，对于这类异于通常的极端条件的问题，就须特别注意直接按极端条件的不同于通常方法处理。