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三、杨—米尔斯规范场引进协变导数的物理实质
1、整体规范变换[5]
对ψ、ψ-和∂μψ做整体规范变换,α=常数,∂μ α=0,有
ψ→ψ′=exp(-iα)ψ
ψ- →ψ-′=ψ- exp(iα ) (8)
∂μψ→∂μψ′=exp(-iα)∂μψ
ψ、ψ-、∂μψ按相同规律变换,规范不变性成立。构造自由场的拉格朗日密度,
代入拉格朗日方程,即可得到洛伦兹协变形式的狄拉克方程
(irμ∂μ-m)ψ=0 (9)
杨—米尔斯规范场中,ψ作概率解释,波函数ψ泛化为纯数学函数,没有实在论意义,波函数相位因子的物理意义被忽视。整体规范变换只能看到数学对称美,而物理意义不明确。
量子力学曲率解释中,波函数ψ不是纯数学函数,描述粒子波动存在形态,其相位包含粒子速度信息,有明确的物理意义。∂μα=0,即为∂μv=0,粒子作匀速运动,有流和荷的守恒。建在粒子上的坐标系K′时空均匀、平直,保证了量子伴生空间的均匀、平直性;带电自由粒子受力状况不变,运动状态不变,ψ具有洛伦兹协变性。整体规范变换既有数学美,更有数学美的物理学基础。
2、局域规范变换[6]
式(8)中,若α=α(x),即所转相角是时空坐标 的函数。对带电自由粒子的场量及其导数做局域规范变换:
ψ→ψ′=exp[-iα(x)]ψ (a)
ψ- →ψ-′=exp[iα(x)]ψ- (b)
∂μψ→∂μψ′=∂μ {exp[-iα(x)]ψ} (10)
=exp[-iα(x)]∂μψ-i∂μ α(x) exp[-iα(x)]ψ (c)
≠exp[-iα(x)]∂μψ
场量与场量导数的变换不一致。用式(10)构造拉格朗日密度,代入拉格朗日方程,不能保证拉格朗日方程和狄拉克方程的形式不变。传统分析认为,原因在于式(c)增加了∂μα(x)≠0项,导致场量和场量导数的变换规律不一样,破坏了拉格朗日密度的规范不变性,因而不能得到洛仑兹协变形式的狄拉克方程。但通过协变导数引进规范场,体现粒子与场的相互作用,就可恢复局域规范变换规范不变性。引进协变导数
∂μ→Dμ=∂μ-ieAμ (11)
式中Aμ即为引进的规范场。Aμ是电磁场的矢势,粒子受的是电磁力,矢势Aμ必须赋予相应物理意义。引入协变导数后再构造拉格朗日密度,并将总拉格朗日密度代入拉格朗日方程,即可得到形式不变的场方程:
(irμDμ-m)ψ=0 (12)
从局域规范变换我们再次看到了数学的神通和对称美。
然而,在数学对称美背后,我们必竟要问:如果局域规范变换中,粒子与场的相互作用是在“通过引进规范场”时才发生的,那么当自由粒子整体规范变换过渡到局域规范变换时,引进的规范场正好是改变粒子受力状况和自由运动状态的原因,规范场成了破坏规范不变性的祸首。数学美与物理美不协调。“引进规范场”保证规范不变性,只能是空间的、数学形式的、表面的对称美。显然,引进规范场消除∂μα(x)≠0项,背后应有更深层的物理原因。相角α=α(x)是一个纯数学函数而没有物理意义就值得思考。
量子力学曲率解释做了完美的科学回答。根据我们的分析,若∂μα(x)=0,则有∂μ v(x)=aμ=0,带电粒子做匀速运动,式(10)中(c)式第二项消失,这就是带电自由粒子整体规范变换。可见α=α(x)时,规范不变性的破坏完全是由于∂μα(x)=∂μv(x)=aμ ≠0 ,带电粒子己置于电磁场中,受力状况、运动状态均发生了变化,坐标系K′及“量子伴生空间”的空间均匀、平直性遭到破坏造成的。∂μα(x)≠0空间梯度的存在,正是量子伴生空间的空间均匀、平直性遭到破坏的数学表述。通过协变导数引进规范场,消除原场力,恢复粒子自由运动状态,即可消除这一空间梯度,实现规范不变性。空间对称性的破坏与恢复背后有了物理解释。
物理系统的对称性及拉格朗日密度不变性预示对应守恒流jiμ和守恒荷Qi所揭示的的物理本质:流和荷的守恒刚好对应载荷粒子匀速运动,对应坐标系K′及“量子伴生空间”的空间均匀、平直性;局域规范变换时规范不变性的破坏,意味着流、荷守恒的破坏,即粒子匀速运动状态的破坏,正好对应坐标系K′及“量子伴生空间”的空间均匀、平直性的破坏。这是带电自由粒子整体规范变换过渡到局域规范变换的物理实质。显然,规范场的引入,尽管体现了带电粒子与电磁场的作用,但那是一种抵消作用,使总作用力为零,保证坐标系K′及“量子伴生空间”的空间均匀、平直性,恢复规范不变性。过去人们对这一物理机制似乎认识不足。
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