看到科学网上几篇关于卷积的博文，也颇为受益。的确，卷积是一个极为重要的运算，其定义事实上是自然的。但由于我们教材中过于拘泥于形式，从而使得学生感觉这是个天上掉下来的东西。我第一次接触卷积之时便有此感觉。不过，在后期逐渐接触之中，形成了一些自己的浅见，并在课堂之上经常提起。仅记于此，以为交流之便宜。

首先，卷积的定义是如何而来？事实上，卷积命名让人有些疏离之感。但是，倘若我们将其称之为“加权平均积”，那便容易接受的多。的确，卷积的离散形式便是人人会用的加权平均，而连续形式则可考虑为对连续函数的加权平均。假如我们观测或计算出一组数据。但数据由于受噪音的污染并不光滑，我们希望对其进行人工处理。那么，最简单的方法就是加权平均。例如，我们想对数据x_j进行修正，可加权平均为
w/2*x_{j-1}+(1-w)x_j+w/2 *x_{j+1}。
此处，w为选择的权重，如果可选择0.1等等。
这里实际上是用两边的数据对中间的数据进行了一点修正。上面的公式，实际上是两个序列在做离散卷积，其中一个序列是
......0,0,w/2,1-w,w/2,0,0......，
另一个序列是
.....,x_1,x_2,x_3,......
将上述简单的思想推而广之，便是一般的卷积。若把序列换为函数，则就是我们通常卷积的定义。这时候，你可以考虑为一个函数对另外一个函数做加权平均。不过，一个扮演的是权重角色，另一个则扮演被平均的角色。

那么，卷积为什么重要？犹如乘积无处不在，卷积也是无处不在的。究其原因就便是：卷积是频域上的乘积！
但凡对Fourier变换有些了解，便知道一个函数可从两个方面来看：时域和频域。Fourier变换宛如西游记中的照妖镜，任何函数在其面前都会展现出另外一面。所以，很多时候我们如果对一个函数看不清楚，那就在照妖镜里看一下，做一下Fourier变换，便会豁然开朗。而函数的性质，经过Fourier变换之后，也会有与之相对应的性质。例如，函数的光滑性经过Fourier变换后，便是其在无穷远处趋向于0的速度。那么，函数的乘积经过Fourier变换后，便是卷积！因此，卷积实际上是乘积的另外一面，不过这一面需要借助照妖镜才可以看到，所以让我们感觉有些陌生。卷积，Fourier变换与乘积是紧密联系在一起的。因此：
                     有卷积的地方，便会有Fourier变换；有Fourier变换的地方，便会有卷积！
想想Fourier变换的应用范围，便不难理解卷积的重要。

说了半天，我们的学生，甚至于数学专业的大学毕业生，为什么会对卷积感觉莫测与神奇呢？我在以前的博文里面提过，我们大学的数学教育似乎比较轻视Fourier变换。事实上，我们承袭了中学数学教育的传统，喜欢在技巧性强的地方大做文章。高等数学里面，两个地方学生花费时间甚多：一是中值定理，一是不定积分。因为这两处最容易出现技巧性强的题目。但是，对于Fourier变换这种带有新思想的地方却着力不足。就像我前面所说：有卷积的地方，便会有Fourier变换。也就不难理解，学生对卷积陌生的根本原因是教学方面对Fourier变换的轻视。