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对线性运算的封闭的空间,即满足加法和数乘的空间,称为线性空间,则此空间具有的代数结构,在线性空间上赋予范数,在根据范数可以定义出距离,则此空间就具有了几何结构,并称此空间为赋范线性空间,对于具有代数和几何结构的空间可以解决很多物理上的问题,而完备的赋范线性空间就是巴拿赫空间,啥是完备的,想象实数就明白了,假如在赋范线性空间在引入欧式空间中的角度和正交等内积性质,则就生成内积空间,则完备的内积空间就是希尔伯特空间。
如果一集合上任意两个元素都对应一个实数,并且此实数满足非负、对称以及三角不等式,则集合就是以这个实数为距离的距离空间,一般来说空间包括连续的和离散的,并且熟悉的有欧式空间Rn,Lp[a,b],lp以及C[a,b]等,同时空间也有许多性质,如可分性、完备性、列紧和紧性等,以及自爱空间之间定义的压缩映射定理,其是很酷的一种思想,把求解微分方程。积分以及其他代数方程转化为求一个函数的不动点,一般比距离空间广泛的就数拓扑空间了。
如果一集合是不空并且此集合中子集定义为开集,并且满足集合和空集皆为开集,任意多个开集的并仍为开集,有限个开集的交也仍为开集的条件,这些开集就是集合上的拓扑结构,这个集合就是拓扑空间,其是一种比距离空间广泛的空间,其补充了距离空间的残缺的内容,并用开集定义了古典分析中核心的概念极限,同时记住任何一个非空集合都可以定义拓扑结构。
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GMT+8, 2024-10-19 22:54
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