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相对论、量子力学及其场论的,本质、规律,及其必然且必需的发展(36)
4维时空多线矢的微分、时间导数、偏微分 (注意不变系与可变系的区别!)
(接(35))
各不变多线基矢[基矢(A)((a))]的微分、时间导数、偏微分均=0。
对于可变基矢系:
1线基矢:
d[基矢X(x)]=[dC(XA,xa)[基矢A(a)],a=0到3求和]
=[dl(A,a’)(偏分l(A,a’)C(XA,xa))[基矢A(a’)],a,a’=0到3求和]
=-[dl(A,a’)w(Ax’,xa’)[基矢X(x’)], a’,x’=0到3求和] x=0,1,2,3,
w(Ax’,xa’)=[(偏分l(A,a’)C(XA,xa))C(AX, ax’) a=0到3求和],是时空联络系数(Riemann-Christoffel符号)。
因而,具体表达了弯曲时空的基本特性。并有:
[(dC(XA,xa))C(AX,ax’) + C(XA,xa)(dC(AX,ax’)) a=0到3求和] =0。
(偏分l(A,a’)[基矢X(x)])=[w(Ax’,xa’)[基矢X(x’)], x’=0到3求和], x=0,1,2,3,
有:w(Ax’,xa’)=-w(Ax,x’a’),
偏分位置1线矢:[偏分矢r(X)]=[[基矢X(x)](偏分r(X,x), x=0到3求和],
d[矢r(X)]=[dr(X,x)[基矢X(x)]+r(X,x)d[基矢X(x)],x=0到3求和]
=[(dr(X,x)[基矢X(x)]
-r(X,x) dl(A,a’)w(Ax’,xa’)[基矢X(x’)], a’,x’=0到3求和)
,x=0到3求和]
=[(dr(X,x)+dl(A,a’)r(X,x’)w(Ax,x’a’),a’,x’=0到3求和)[基矢X(x)]
,x=0到3求和]
=[dr(X,x)(1+(dl(A,a’)/dr(X,x))r(X,x’)w(Ax,x’a’)),a’,x’=0到3求和)
[基矢X(x)],x=0到3求和]
=[dr(X,x)W(X,x)[基矢X(x)],x=0到3求和],
W(X,x)=1+(dl(A,a’)/dr(X,x))r(X,x’)w(Ax,x’a’)),a’,x’=0到3求和,
dU=[dr(X,x)(偏分r(X,x)U), x=0到3求和]
=[d矢r(X)]点乘[偏分矢r(X)]U,
d=[d矢r(X)]点乘[偏分矢r(X)],
(未完待续)
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