相对论、量子力学及其场论的，本质、规律，及其必然且必需的发展(17) 在两个不同“正交轴矢系”间，4维时空位置矢变换的推导

(接(16))

对于同一矢量在两个正交系间的变换，其各矩阵元Cjk; j,k=0,1,2,3,是么正的，即有：

{CjkCjk,j=0,1,2,3求和}=1; {CjkCjk,j=0,1,2,3求和}=0; k不=k’=9,1,2,3,        (17.1)

可将4维时空位置矢变换表达为：

ict= ict’cos[角0]-sin [角0],

X=ict’sin[角0]cos[角1]+X’cos[角0]cos[角1]-Y’sin[角1],                  (17.2)

Y=ict’sin[角0]con[角1]cos[角2]+X’sin[角0]sin[角1]cos[角2]+Y’+sin[角1]cos[角2]-Z’sin[角2],

Z= ict’sin[角0]con[角1]sin[角2]+X’sin[角0]sin[角1]sin[角2]+Y’+sin[角1]sin[角2]+Z’cos[角2],

或

ict= ict’cos[角t*]+X’cos[角X*]+Y’cos[角Y*]+Z’cos[角Z*],

X=-ict’cos[角X*]+X’cos[角t*]+Y’cos[角Z*]-Z’cos[角Y*],                  (17.2’)

Y=-ict’cos[角Y*]-X’cos[角Z*]+Y’cos[角t*]+Z’cos[角X*],

Z=-ict’cos[角Z*]+X’cos[角Y*]-Y’cos[角X*]+Z’cos[角t*],

其中,

ict在ict’ X’平面内，与ict’间夹角为[角0]；与X’间夹角为派/2-[角0]，X在X’ Y’平面内，与Y’间夹角为派/2-[角1] ；与X’间夹角为[角0]，Y在Y’ Z’平面内，与Z’间夹角为派2-[角2]；在X’ Y’ 平面的投影与Y’间夹角为[角1]，Z在Y’ Z’ 平面内，与Z’间夹角为[角2]；在X’ Y’ 平面的投影与Y’间夹角为[角1]，

[角t*]是[基矢t’]与[基矢t]间的夹角，[角X*]是[基矢t’]与[基矢X]间的夹角，[角Y*]是[基矢t’]与[基矢Y]间的夹角，[角Z*]是[基矢t’]与[基矢Z]间的夹角，

它们还可以是这两个不同“正交轴矢系”间的时空牵引位置矢(所谓时空牵引位置矢，就是这两个不同“正交轴矢系”原点间的时空位置矢)相应的各方向余弦。即可分别表达为：

cos[角t*]=ict*/r*, cos[角X*]=X*/r*, cos[角Y*]=Y*/r*, cos[角Z*]=Z*/r*,     (17.3)

r*=i(1-(X*^2+ Y*^2+ Z*^2)/(ct*)^2)^(1/2),,

以(17.3)代入(17.2’)，即有：

ict= ict’ict*/r*+X’X*/r*+Y’Y*/r*Z’Z*/r*,

X=-ict’X*/r*+X’ict*/r*+Y’Z*/r*-Z’Y*/r*,                  (17.4)

Y=-ict’Y*/r*-X’Z*/r*+Yict*/r*+Z’X*/r*,

Z=-ict’Z*/r*+X’Y*/r*-Y’X*/r*+Z’ict*/r*,

对于惯性系，它们又还可以是这两个不同“正交轴矢系”间的时空牵引速度矢相应的各方向余弦。即可分别表达为：

cos[角t*]=ic/u*, cos[角X*]=u*1/u*, cos[角Y*]=u*2/u*, cos[角Z*]=u*3/u*,     (17.5)

u*=ic(1-(u*1^2+ u*2^2+ u*3^2)/c^2)^(1/2),,

以(17.5)代入(17.2’)，即有：

ict= ict’ic/u*+X’u*1/u*+Y’u*2/u*+Z’u*3/u*,

X=-ict’u*1/u*+X’ic/u*+Y’u*3/u*-Z’u*2/u*,                  (17.6)

Y=-ict’u*2/u*-X’u*3/u*+Y’ic/u*+Z’u*1/u*,

Z=-ict’u*3/u*+X’u*2/u*-Y’u*1/u*+Z’ic/u*,

实际上，(17.2’)再经另一个么正变换即可成为(17.2)。而且，该变换的各元，容易由两者各元的关系式解得。

而当u*2=u*3=0，u*1=V,就是通常的：

t=(t’+VX’/c^2/(1-(V/c)^2)^(1/2);

X=(X’+Vt’)/(1-(v/c)^2)^(1.2);

Y=Y’,      Z=Z’,                                        (14.4)

(未完待续)