在学习中怎样少出错？

 

   

    虽然离开教学的讲台有8年了，有时难免想起刚入大学的学生在学习方法上的不适应，不免唠叨几句。现在写一点在下面，兴许对他们有点参考。

科学技术愈发展，人们得和愈来愈复杂的事物打交道。事情复杂了，就容易出错。出错的后果不堪设想。

一辆汽车由上千个零配件组成，只要有一个零件出了毛病，就会影响汽车的性能。有时厂家还会因为一批汽车的某个零件出问题而把整批汽车召回修理。一套含百万条语句的软件，只要有一个符号出问题，运行时就会不正常。2003年8月14日，导致北美大范围停电事故，直接经济损失达60亿美元，就是控制软件的漏洞和错误引起的。

在现代战争中指挥的错误会导致战败，在一项复杂的研究工作中，一个环节的失误，会使前功尽弃。可见减少错误的意义是非常重大的。

这里先不一般地讨论如何减少错误的问题。首先来谈谈理工科大学生和研究生学习中，如何减少错误的问题。这经常是从中学毕业后刚进入大学学习中遇到的一个十分令人烦恼的问题。一些中学拔尖的学生乃至高考“状元”，进入大学的门，学习成绩便直落下来。从中学进入大学，从大学进入研究生，学习所面对的问题也复杂了许多。如果在学习期间就能够养成尽量少出错的习惯，在将来工作中是会终生受益的。

一般在学习中容易出现的错误有两类，一类是概念错误，一类是运算的错误。

概念错误，是很难自我纠正的，犹如一个人总是把张三当做李四，没有外人的纠正，也不对照有关的张三李四的传记和图像资料，就会一直错下去而不自知。为此在开始接受一个新概念时必须把它完全弄明白。搞清楚它和别的相近似的概念的区别。

在中学里，老师每讲一个新概念，总要反复举例说明它的内涵，在大学里不会讲得那样仔细，而对于研究生来说，接触新概念就要自己去独立体会它的真实含义和界定，甚至必须独立提出一个以前没有的新概念。一些刚入大学的学生，常常是一下课，也和在中学时一样，就忙于做习题。没有认真复习所学的新概念就忙于做习题，总容易犯概念错误。有时复习一遍还不容易掌握一些概念的实质，这时需要对照几本不同的参考书，认真比较这些概念的叙述，还要查阅有关的例证，以便牢固掌握。只有这样复习之后再去做题，才会得心应手。

对一个概念准确把握可不是一个很容易的事。举例来说，从18世纪中叶人们就开始用无穷级数来求解方程，许多人从直觉认为，一个由无穷多连续函数组成的级数，如果收敛的话，它一定也收敛到一个连续函数。过了一百多年后才弄清楚这个直觉是错的，引进了一致收敛的概念，结论是只有一致收敛的连续函数序列才会收敛到连续函数。说一个函数级数收敛和它一致收敛，是两个不同的概念，把二者不加区分，就容易得出错误的结果，这中间许多著名的数学大家都犯过这个错误。类似的，数学中的极限、微分等概念也都是经过漫长的岁月才清晰起来的。

再例如，在材料力学的梁的理论中，必然遇到一个中性层（或中性轴）的概念。也就是在梁受纯弯曲时，横截面上正应力为零的那一层。从17世纪伽利略研究梁开始，过了二百多年，才由纳维搞清楚，并且弄清楚了它的位置是梁的形心所在的那一层。

既然人类在准确把握一个科学概念有时是经过上百年的积累才搞清楚了的，是经过不断犯错误才逐渐清晰起来的，那么作为一个初学者，想在一堂课内只靠听老师讲就能够准确把握是很难做到的。所以对于一些重要的概念一定要下功夫去琢磨它的方方面面。有时是需要通过做习题才能够暴露对概念的理解是不是准确。在经过做题的的试错中调整自己对概念的理解以达到准确把握。

现在来说一说运算错误。这涉及运算和计算能力的培养问题。运算能力是指，已经把概念搞得很清楚，不再犯概念性错误的条件下，在论证或计算中，纯粹是一步步往下推导和计算复杂问题的能力。

每个人在计算中难免要出错。我们设想有一个出错率。比方说，出错率为百分之一，这应当说是一个不大的数字吧。可是这在实际上远远不够。假如你是一个小学生，老师出一百道算术题，每一道题只包含一个四则运算，既然你的出错率是百分之一，你一定可以得99分。这的确是一个不错的成绩。可是，现在你已经不是小学生了，你是一位大学生。老师出一道包含100个四则运算的题，你总是出错，只会得零分！如果每一道题都至少包含一百个四则运算，那末你只能永远得零分！这说明，事情复杂了，出错的几率会增加许多。所以即使是从纯粹运算能力的角度，也需要认真审视一下你的学习方法和习惯。

要减少运算中出错，只有把好两个环节。第一是，要把运算的每一步都整齐地留下来，便于检查。这就要改变以往使用草稿纸的习惯。需要把草稿纸订成一个本子，打草稿时按照顺序，尽量写整齐，以便检查。那种随便拿一张已经用过的废纸片上打草稿，或者草稿纸写得很乱是要不得的。当发现错了，你没有办法检查过程，就要从头来算一遍，实在是很费时间的。所以说，准备好一个整齐的草稿本，是进入大学，准备培养较强的计算能力的第一步。第二就是，最好计算的每一步都检查无误了再进行下一步。这要比计算到最后一步再从头检查要省时间。时间长了，就是养成计算每一步都检查一下的习惯。这样出错的机会就可以降低很多。

也许你会认为，这很费事。其实一旦你养成习惯，就会发现，这其实是一种非常省时间和精力的办法。学习的东西变得复杂了，需要认真校核和检查。在现代工业和软件工程中，生产过程中设专门质量检查的部门，一部复杂的机器，要分成若干部件来检测，复杂的软件不仅要进行分块调试还要有专门的测试人员。大量数据的传输，为了避免错误，需要在原有信息码之外附加纠错码。可见对待任何复杂系统来说，附加一定的检查和纠正错误的劳动和资源是必不可少的。这些其实就是以上在学习中减少运算错误两个环节的发展。所以如果在学习的过程中，养成很少出错的习惯，在工作中，要使一个复杂系统正常运转，也会应付自如了。

 

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