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William Hodge的调和积分理论有胆识而富于想象,他看到了如何将几何函数论推向n维情形,他对基本定理的证明包含着一系列缺陷。后来,Hermann Weyl通过他早年的势论,才以巧妙的办法弥补了那些不足。De Rham教授的这本书是微分流形的导引,它的主题看来是第一次以不同于Hodge-Weyl的方法详细地证明了Hodge的基本定理。他在写这本书时,一定很愉快,因为从de Rham理论可以自然达到Hodge理论的顶点。在n维几何里,链与上链,或积分与被积函数,是基本的对偶概念。在边缘算子是整体性的时候,上边缘算子(即外微分)是局域的,这使上同调论成为分析方法和应用的更为方便的工具。Poincare看到重积分的重要性提出了他的主要“定理”,而Elie Cartan发展了外微分的基础,并将它用于力学、微分系统和微分几何。完整的理论则是de Rham1931年的著名论文完成的。论文很长,因为那时的拓扑学是同调论,还没有上同调的概念。同时包含链和上链的是“流”的概念。这是de Rham引入的,而且有效贯穿在本书中。0维流是一个(Laurent Schwartz意义下的)分布,现在已成为数学的基本概念。关于Hpdge定理,现在有些别的证明,最自然的方法也许是用伪微分算子;Milgran-Rosenbloom证明用热传到方程的方法,有着广泛的影响;Morrey, Eells和Friedricchs有一个变分法的证明。Hodge定理可以在多方面展开。它最重要的方面在于带系数束的上同调理论,这是Leroy引进的,Henri Cartan和J-P. Serre在复结构上做了发展,获得了巨大成功。它的调和理论最显由小平邦彦(K. Kodaira)研究过,在它的几何内容发现以后,调和理论借助S. Bochner的思想证明了上同调群的“零定理”,这些定理很重要。在流形上的椭圆算子这个领域,现代的发展(如指标理论和谱理论)已经超越了本书的内容,然而我相信,热心于新结果的数学家也会专心地流连于此,不但能学习数学,还能学习数学的风格。
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GMT+8, 2024-10-19 22:34
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