今天，继续漫谈黄金数。可能大家心里有一个疑问，为什么我对黄金数如此痴迷，情有独钟？为什么我在《我心深处-三维伊辛模型的精确解之谜》一文中认为：根据我们提出的猜想，对于一个简单立方伊辛模型(K=K’=K’’)，从条件 K* = 3K 或 sinh 2K sinh 6K = 1推定其居里温度精确地存在于黄金点 x_c = exp(-2 K_c) = (sq(5) - 1)/2,即1/K_c = 4.15617384……。下面从分别条件 K* = 3K 或 sinh 2K sinh 6K = 1出发，给出详细的推导过程。为了比较起见，先分别给出二维正方伊辛模型的对应结果。当然，这不可避免要涉及一些数学公式。有人说：“增加一个公式能吓跑一半读者”。我希望下面的一些简单的数学公式不要吓跑你。如果你能坚持看到最后，我保证你能真正体验到自然的美妙之处。

首先，列出一些双曲函数的定义和公式：

sinh A = (e^A - e^-A)/2; cosh A = (e^A + e^-A)/2; tanh A = sinh A/cosh A;

sinh (A+B) = sinh A cosh B + cosh A sinh B;

sinh 2A = 2 sinh A cosh A; cosh 2A = cosh ² A + sinh ² A.

另外，对于伊辛模型K*由 exp(-2K)=tanh K*定义。

二维正方伊辛模型的居里点精确解的条件为K* = K 或 sinh 2K sinh 2K = 1。

1）从K* = K出发，有e^-2K = tanh K = sinh K/cosh K = (e^K - e^-K)/( e^K + e^-K) =(1 - e^-2K)/( 1 + e^-2K)。所以，有 (e^-2K) ² + 2 e^-2K – 1 = 0。令 x = e^-2K，有方程x² + 2 x –1 = 0，得到x = e^-2K的解为白银数。

2）从sinh 2K sinh 2K = 1出发，有sinh² 2K = 1，即sinh 2K = ±1。从而，(e^2K - e^-2K)/2 = ± 1。整理后有：(e^-2K) ² ± 2 e^-2K – 1 = 0。令 x = e^-2K，有方程x² ± 2 x –1 = 0，也得到x = e^-2K的解为白银数。

根据我们的猜想推定的三维简单立方伊辛模型居里温度的条件为K* = 3K 或 sinh 2K sinh 6K = 1。

1）从K* = 3K出发，有e^-2K = tanh 3K = sinh 3K/cosh 3K = (e^3K - e^-3K)/( e^3K + e^-3K) =(1 – (e^-2K) ³)/( 1 + (e^-2K) ³)。所以，有(e^-2K) ⁴ + (e^-2K) ³ + e^-2K – 1 = 0。令 x = e^-2K，有方程x⁴ + x³ + x –1 = 0。即，(x² +1) (x² + x –1) = 0。因为x² +1 ¹ 0， 所以有 x² + x –1 = 0，得到x = e^-2K的解为黄金数。

2）从sinh 2K sinh 6K = 1出发，因为sinh 6K = sinh (4K + 2K)，可以利用上面的公式得到：sinh 6K = 3 sinh 2K cosh² 2K + sinh³ 2K。

所以，有方程3 sinh² 2K cosh² 2K + sinh⁴ 2K = 1。

即：3(e^2K - e^-2K) ² ( e^2K + e^-2K) ² /16 + (e^2K - e^-2K) ⁴/16 = 1。

令 x = e^-2K，有方程3(x^-1 - x) ² (x^-1 + x) ² /16 + (x^-1 - x) ⁴/16 = 1。

即：3(1 - x²) ² (1 + x²) ²  +  (1 - x²) ⁴ = 16 x⁴。

   展开后得： 4 – 4x² – 4x⁶ + 4x⁸ = 16 x⁴ 。即：x⁸– x⁶ – 4x⁴– x² + 1 = 0。

   方程可以因式分解为：(x² + x - 1) (x⁶ – x⁵ + x⁴ – 2 x³ – x²– x –1) = 0

   我们再一次地见到熟悉的面孔：x² + x – 1 = 0，可见x = e^-2K的解中仍有黄金数。

   到这里，我想你肯定能体验到自然的精妙之处。我们暂时先不管这个解是否是三维伊辛模型的精确解。方程K* = 3K和 sinh 2K sinh 6K = 1本身所显示的美丽，就已经令人惊叹大自然的鬼斧神工。能揭示这个秘密的过程本身就是一个奇妙的享受。

(详细内容见Zhi-dong Zhang, Conjectures on exact solution of three - dimensional (3D) simple orthorhombic Ising lattices, http://arxiv.org/abs/0705.1045)  

已发表在Philosophical Magazine, 87(34), 5309 – 5419 (2007)。http://dx.doi.org/10.1080/14786430701646325

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