小时候对黄金的价值没有概念，现在唯一记得的是，在一部电影里国民党军官的台词：“大炮一响，黄金万两”。到现在，人到中年，对黄金还是没有太多的感觉。不过对黄金数到是十分的痴迷。今天，继续漫谈黄金数。

最早从数学上对黄金数提出明确定义的是欧几里德，他从简单的直线中确定了黄金比例。一直线段AB上一点C将线段AB分割为AC、CB两个线段，如果AC长度、CB长度之比等于AB长度和AC长度之比，则C点将线段AB按黄金比例分割。实际上，如果我们取线段CB的长度为1，线段AC的长度为x，则线段AB的长度为1+x，由上述的定义有：x:1=(1+x):x。这种分割就隐含了x² + x –1 = 0方程，所以肯定能得到黄金数。黄金数的奇妙之处很多，如两个黄金数x = (sq(5)-1)/2 和x = (sq(5)+1)/2互为倒数。前者的平方的倒数减1等于后者，而后者的平方减2等于前者。

提到黄金数就不能不提到著名的斐波纳契(Fibonacci)序列和他的兔子问题。问题是一对兔子每个月可以生一对小兔，新生的小兔子过了两个月以后又开始生小兔。那么，满一年可以繁殖多少对兔子？斐波纳契(Fibonacci)序列的特点是从第3项开始，每一项等于它的前两项之和。递增关系为：F_n = F_n-1 + F_n-2。其通项公式可以写成：F_n = [((1+sq(5))/2)ⁿ - ((1-sq(5))/2)ⁿ]/sq(5) 。注意通项公式含有sq(5)，n用自然数代入得到的F_n是整数，小兔子的数目为：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,…有趣的是相邻两项的比F_n /F_n-1在n趋于无限大时的极限正好是黄金数。斐波纳契(Fibonacci)序列极大地扩展了黄金数的内涵，在自然界许许多多生物的结构中可以找到这个序列。故事还远没有结束，人们将斐波纳契(Fibonacci)序列推广成广义的斐波纳契(Fibonacci)序列，递增关系为：F_n = iF_n-1 + jF_n-2。当i=j=1时给出斐波纳契(Fibonacci)序列，在n趋于无限大时F_n /F_n-1极限是黄金数；当i=2,j=1时给出Octonacci序列，在n趋于无限大时F_n /F_n-1极限是白银数sq(2) + 1；当i=4,j=-1时给出Dodecanacci序列，在n趋于无限大时F_n /F_n-1极限是白金数sq(3) + 2。

提到黄金数还要提到五次对称和准晶。与黄金数密切相关的平面图形是正五边形和五角星，它们可以构成无限的巢形循环。五次对称性在自然中非常常见，如梅开五瓣。但在晶体中的平移对称性的周期性禁止五次对称性出现。而彭罗斯用与正五边形中的黄金三角形构成的两种铺砖，铺满整个平面并展示出平移对称性所禁止的五次对称性。彭罗斯还将这种具有五次对称性的准周期结构拓展到三维空间。1984年以色列科学家薛克曼等发现在铝锰合金中同时具有长程规律和五次对称性，并命名为准晶。中科院金属所郭可信院士领导的研究组也独立地在钛钒镍合金中发现准晶。三维准晶体的五次对称性与正二十面体密切相关，正二十面体的构成与黄金数密切相关，所以，它们与斐波纳契(Fibonacci)序列也密切相关。除了三维的正二十面体的五次对称性准晶体，人们还陆续发现了二维的八次对称、十次对称的准晶体。奇妙的是，二维的八次对称准晶体与白银数和Octonacci序列密切相关；二维的十次对称准晶体与白金数和Dodecanacci序列密切相关。

将话题返回我的本行，返回我的兴趣点：伊辛模型。二维正方伊辛模型居里温度的精确解就是白银数；二维三角伊辛模型居里温度的精确解就是白金数；在我的猜想基础上推定的三维立方伊辛模型居里温度的精确解就是黄金数。

(详细内容见Zhi-dong Zhang, Conjectures on exact solution of three - dimensional (3D) simple orthorhombic Ising lattices, http://arxiv.org/abs/0705.1045) 

已发表在Philosophical Magazine, 87(34), 5309 – 5419 (2007)。http://dx.doi.org/10.1080/14786430701646325