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数学的无形与有形
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——数学禅思之四
“禅思”是一个借口，只是换个角度乱说而已。前面已经说过数学的“思量与不思量”，http://www.sciencenet.cn/blog/user_content.aspx?id=284063 ，说过“数学的感觉”，http://www.sciencenet.cn/blog/user_content.aspx?id=291554 ，说过“从普通到超越”，http://www.sciencenet.cn/blog/user_content.aspx?id=303377 ， 今天换一个话题。
数学在大众眼里总是“抽象”，不具象，谈不上有形和无形。但是，在具体的科目里，仍然可以区分有形与无形。粗略地说，几何和拓扑是有形的，即使没有现实的形，也有可以想象的形；而函数是无形的，能想象出形的函数很少，至少我想不出来。
M. Morse用可微函数来研究流形的拓扑，用函数的临界点（所以它是经典变分法的推广）来刻画流行的结构，使我们能用无形来研究有形，而将有形归于无形——用黑话来说，每个光滑流形的同伦形都是一个 CW复形，形态的差别消失了。将这办法用于本家李群（ Lie groups），得出Bott的周期性（periodicity），乃是 K理论的基本定理。不过，更令我难忘的是，这个方法用于时空流形，可以得到Penrose和Hawking的时空奇点定理，数学魔术又一次变出了物理的实在。
Milnor有一本150多页的小书《Morse理论》，写意地勾勒了Morse理论，将它正式带入了拓扑和几何的课堂。这是我最喜欢的数学小品，为它题诗一首：
拓扑机巧费神经，着意微分分外明。映照浮沉多变幻，离合断续总轻盈。闲听叶在窗前落，卧看虹从雨后生。点化沧桑都一样，同伦万象本无形。
https://blog.sciencenet.cn/blog-279992-309953.html
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