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数学的“美”
精选
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前几天说了数学的“无用”，今天说数学的美。“无用”等于“美”，是吗？
哈代的“数学无用论”强调了它的“无害”，这才能说到“美”。“无害曰美”，是一个古老的命题（见《国语•楚语上》）。数学家对美的欣赏是普遍的，美也是多数数学家的心灵归宿。而哈代的数学美的观点，和他的“无用论”一样，更为典型和夸张，难怪某些评论者把对数学美的追求概括为“哈代神话”。
大众是通过艺术来感受美的。哈代在“自白”里也有一段关于数学与艺术相似的论述：数学家像画家和诗人，都创造“模式”，不过是在用思想来创造，因而流传也更为久远。数学的思想，就像画家的色彩和诗人的文字，以和谐的方式组织起来。美是数学的第一标准：丑陋的数学在这个世界里没有永远的位置。
一个特殊的数学问题有多大的发展前景，一般是很难判断的，而判断的一个标准，就是数学家的美学的直觉。正如外尔说的，“我的工作总需要将真与美统一起来，当我不得不选择其一时，我通常选择美。”（自相对论以来，美也同样是物理学理论的标准，这里不多说了。）
不过哈代把数学美看得更重（虽然他承认它“很难定义”），别的数学家不像他那么“纯”。例如，庞加勒总结数学的目标和意义时，首先说它是认识自然的工具，其次说它有重要的哲学意义，然后才“冒昧地说”它“还有着深刻的美学原则”。
当然，数学与艺术的“相似”，不是形式的，而是“感觉的”。维纳在自传里有过很好的描述：
对那些想从中得到巨大回报的人来说，数学领域太艰险了，没有吸引力。数学的回报与艺术家得到的回报有相同的特质，像Pygmalion [希腊神话的塞浦路斯国王，塑了尊女雕像，还爱上“她”了。]那样看到坚固的石头成为活泼的少女，尽管数学的石头是比石头还硬的逻辑；像看造物者的杰作一样，从无意义和无知中找出意义和理解。不论数学家、画家还是音乐家，在他们的生命里，多少技术的修正和劳作都不可能取代那种创造的瞬间。
罗素更是大张旗鼓地宣扬
数学，如果正确地看待它，则具有……至高无上的美——正像雕刻的美，那是一种冷峻的美，它不是迎合我们柔弱的天性，没有绘画或音乐的华丽装饰，而可以纯净直到崇高，可以达到伟大艺术的那种完美境界。一种真实的喜悦的精神，一种精神的亢奋，一种超越人的意识——这些至善至美的标准，能在诗歌里得到，也能在数学里得到。
我们奇怪的是，这些数学大师为什么不拿音乐来比拟数学呢？两者都是以纯粹的符号来表达思想，都不需要凭借任何形象来增添内容——音乐当然有形象，数学也有图形，但那些都是“外在”的，它们的作用非但不必要，甚至还误导读者。但艺术美与数学美终究是不同的。大物理学家狄拉克说过一句玩笑话：“科学试图以人人都能理解的方式告诉未知的东西，而诗歌正好相反。”我们更可以借严羽在《沧浪诗话》的文字来区别诗歌与数学：
诗者，吟咏性情也。盛唐诗人惟在兴趣，羚羊挂角，无迹可求。故其妙处透彻玲珑，不可凑泊，如空中之音，相中之色，水中之月，镜中之像，言有尽而意无穷。近代诸公作奇特解会，遂以文字为诗，以议论为诗，以才学为诗……
如果“别解”一番，我们不妨说，数学就是“以文字为诗，以议论为诗，以才学为诗”，再加一句，“以逻辑为诗”。艺术的美尚“虚”，数学的美尚“真”；诗歌不需要的东西，正是数学的精神。艺术评论百花齐放，而数学评价四海统一，就因为数学还包含着别的东西。
哈代讲得多的，是数学的“严肃”。数学的严肃不在于内容本身，也不在于它的实际结果（那就堕落到“有用”和不美了），而在于它所联系的思想的重要性。一个命题如果能引出更多更大的命题，那就是“严肃”的，也就是美的。例如“素数定理”：小于N的素数的个数大约等于N除以N的自然对数（“大约”的意思是，在无穷大的时候才是“真的”，数学能从有限的近似认识无限的确定，也是一种“美”）——对这个结论感到惊讶的人，一定也能感到它的美妙。这个小学生都能明白的结论，其实包含着天下没有多少人明白的数学，这就是它的“严肃”。因此，哈代并不是“为美而美”的空想家，数学也不是无迹可求的挂角羚羊。
不那么“严肃”的数学，如在趣味数学里遇到许多精美无比的技巧和图画，它们不一定有更深刻的背景，也没有更深远的发展前途，“美则美矣，而未大也”（《庄子•天道》），因而顶多算“小美”。借康德的话说，数学是“崇高的”（《判断力批判》）；借中国传统概念说，数学近乎“道”（如孔夫子说的“志于道”而“游于艺”）。而那“道”，在我们看来，也许就是“数学的实在性”。（我们的下一个话题。）
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