图一：“人活一张脸，树活一张皮。”（摘自《科学》杂志）

俗话说：“人活一张脸，树活一张皮。”人类是爱“脸面”的动物，因而有“女为悦己者容”、“以貌取人”之说法。这说明“脸面”是标定每个人特征的最大关键，于是乎有“相面”之术。当然，所谓“面子”不仅仅在于长相和外貌，内心深处好面子的也大有人在！有趣的是，在凝聚态物理学中，即使对一块毫无生命的晶体材料，也存在“脸面”的问题。下面我们就来给晶体相相面。

图二：金刚石外形和内部原子排列结构

人们常见的固体有晶体、非晶体、准晶体等等，其中晶体一般指的是有规则外形的固体，具有固定的熔点和表面光泽等。晶体之所以有规则的外形，是因为从微观尺度上来看晶体内部的原子堆积是具有规则的周期结构的。比如璀璨夺目的钻石也就是金刚石，其内部碳原子排列就是最为紧密的一种结构，因此金刚石是自然界硬度最高的材料。实际上，由于碳元素化合价的多样性，自然界还存在许多碳原子不同排列形式的同素异形体，如图三所示。碳原子之间排成六角形的单原子层叫做石墨烯，而多层六角排列的碳原子就构成了石墨，倘若把石墨层“卷”起来并两头“粘连”就形成了碳纳米管，而由多个六边形和五边形的碳原子排列就构成了C60富勒烯。这些丰富碳原子微观排列方式给出了它们的外部宏观“脸面”——即不同的外形，这很容易为人所理解。但更有趣的是，它们的内部“脸面”——即电子分布状态也与原子的排列形式密切相关。

图四：不同晶格结构的布里渊区

要看到晶体的内部“脸面”，正儿八经看外表是不行的，为此我们需要把晶体结构倒腾一下。实际上，自然界晶体内部的原子排列方式仅有十七种，这种原子规则排列的格子我们叫做晶格，它是正格子——因为它具有长度量纲L。正格子基矢长度和原点附近原子间距相关，它们形成的空间叫做正空间，其中的晶格矢量在某一基矢方向上投影只能是整数。如果我们把正格子倒逆过来，就可以得到一套倒格子，在这个倒格子中基矢方向是和正格子基矢相互正交的，而且量纲也“倒转”过来为1/L。由倒格子基矢形成的空间叫做倒易空间，只有在这个空间里，才能清楚地看到电子状态是如何分布的。不同的正格子对应不同的倒格子，在倒易空间中同样也有一套倒格矢。把所有倒格矢的垂直平分面画出来，就可以把倒易空间划成一块块的所谓布里渊区，离原点最近的一块叫做第一布里渊区，其次为第二布里渊区，以此类推。如图四所示为二维正方晶格的各个布里渊区和三维面心立方晶格的第一布里渊区，图中标出的各个字母代表布里渊区的不同位置。由于电子在同一个布里渊区的能量分布是连续的，但是一旦跨越布里渊区边界，能量将发生跃变。因此把倒易空间划分好不同布里渊区之后，就可以把电子按照其运动状态分门别类了。

图五：不同金属单质的费米面，摘自佛罗里达大学物理系主页

晶体材料的良好周期结构使得电子在里面的运动并非杂乱无章的。我们可以把周期性排列的原子内部结构简单地分成两部分：外层电子一般比较容易摆脱原子的束缚而自由运动，叫做价电子；而内层电子被带正电的原子核束缚住，可以把它们和原子核看成一个带正电的整体，叫做原子实。这样，价电子在固体中的运动就可以看成是在一片具有周期结构的正电背景下的运动。根据量子力学的基本原理，我们很自然地知道价电子的动量分布应该是某些一系列的值，即它的能量分布也是某些特定的系列值。这些电子就在倒易空间中按照自己的能量位置填充。物理学家泡利指出，同一个系统中不能有两个或两个以上的电子处于完全相同的状态。那么每个价电子的动量都不相同，注意到能量只和动量大小有关而跟动量方向无关，因此具有相同动量大小的电子将构成一个等能面。如果我们把电子按照能量从低到高排列的话，排完所有的电子之后它将形成一个实心体，体的表面就是电子的最大等能面。这就是晶体的内部“脸面”，我们把它叫做——“费米面”。

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