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终于能抽出点时间继续《概率论说》的话题。
本期话题:概率论带来的新思维
上两次纯粹在讨论数学,即便是给概率论说好话,也主要是为了迎合“它能为传统数学做什么”。今天,开始涉及概率论本身的视角。
概率论的核心概念是概率分布。正因为随机现象是无法完全预测的,所以退一步,更智慧的做法是研究一下这个随机现象发生的可能性。所以从这个意义上,随机性比确定性更宽,因为如果发生的可能性是百分之百,那也几乎可以认为,这件事是可以确定的。
正因为概率论所面对的研究对象的特殊属性,概率论处理问题的角度就很有趣。比方说,一个圆周上,有一个人在均速运动,如果把人的这种运动看成是一个时间跟位置的函数。这个函数是没有极限的,因为它是周期的。但是,概率学家会说“这是个均匀分布”。也就是说,概率论在对待函数的时候,并不是从自变量到变量的正向思维,而是从映射的因变量出发,观察它取值的分布规律。
如果说刚才的圆周运动的例子没有打动您。我再举天气预报的例子,您也许能窥见概率论的思维方式。大家知道,现代天气预报是利用超大型计算机的运算来实现的。据说,那里面有数以百万计的方程在计算。其实,我们可以设想,如果有一种设备,它强大到对地球大气的任何变量和指标都能进行精确观测(也许上帝可以),那么“天气”就不是随机现象。很多时候,“随机”之所以为随机,是因为人们的观测能力有限。如果您具有不怕困难的精神,立志要向“更精确”的方向前进,那当然很好。但是估计,成本是巨大的。因为“观测”本身就是一件难度不可想象的行为。那概率论告诉您,企图搞清楚“这个函数到底是什么样子”是一件费力不讨好的事情,那还不如,我们通过现有的观测(当然是大量观测),积累起观测结果之后,对事件的分布进行统计。统计的数据,如果运气好,我们可以对天气情况赋以一个合理的概率测度,然后期望用这个测度,对日后的天气情况作“一定程度”的预测。
自然地,有得必有失。你永远都会问,这个概率测度起不起作用。首先,概率作出的预测一定是要附加上“以多大概率”;其次,即便是冒着可能失误的危险,但那不代表没有价值。事实也证明,很多时候,它是有用的。
而且,更多情况下,概率论服务的是经典科学,特别是物理科学。经典科学大多具备简洁和优美的本性,所以往往概率论的使用是会有好的反馈的,就比如布朗运动。另外一点,也许是时下更有意义的,就是概率论对于研究复杂问题的有力帮助。还是回到概率本身,概率实际上是一个筛子,对不同的现象进行筛查。其中自然会对不同结果赋以不同的权重。所以,区别于过去传统的“还原论”,即把最重要的因素提炼出来得到优美的方程,概率论允许你考虑随机扰动和起伏波动,这无疑是对经典做法的有力补充。因此,用概率论做出来的模型,只会告诉你“哪种轨道更容易出现”、“系统会在各个状态的停留时间比例如何分配”、“系统以多大概率灭亡或者爆炸”等等。这样,既照顾到了事物的基本原理,又没有忽略复杂干扰的影响。
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