复变函数

第一章     复数

1.       为什么要复数

△     为什么要整数

△     为什么要有理数

△     为什么要无理数

△     为什么要复数

2.       复数和复数的代数

△     复数

△     复数的算术

△     复数的平方根

△     复共轭

△     模

3.       复数的几何表示

△     复平面

△     矢量表示　极坐标

△     复数的指数形式

△     附录：Euler公式的证明

△     复数的加减乘除法的几何表示

4.       复数的球面表示　复球面　无穷远点

△     复数的球面表示　Riemann球

△     无穷

 

 

第二章     复函数（Riemann的思路）

1.       复函数

△     函数　复函数

△     区域

邻域　内点　开集　区域　边界点　边界　闭区域　聚点　孤立点　外点　连续曲线　闭曲线　简单曲线　可求长曲线　光滑曲线　分段光滑曲线　Jordan定理　单连通区域　多连通区域

2.       解析函数

△     极限　

△     连续　

△     导数　

△     函数在某点可导的条件　Cauchy-Riemann条件

△     解析（全纯）函数

△     任意阶可导的解析函数

△     调和函数

△    u与 v：更多的讨论

△     用z ,z* 表示复函数

3.    初等解析函数

△     多项式　多项式的零点

△     有理函数

△     如何定义复函数：以指数函数为例

△     各种初等解析函数

4.    多值函数　Riemann面 单值分支（更多的Riemann面讨论见《大场论》的第六章 ）

△     多值函数

△     Riemann面

△     多值函数的单值分支

△     多值函数的解析性

5.       初等解析函数举例

5.1 指数函数

5.2 三角函数

5.3 幂函数

5.4 根式函数

△    

 

多值性　单值分支　

支点　割线　Riemann面

△    

5.5 对数函数

△     定义

△     性质

Bernouli悖论

△     单值分支

△     支点　对数分支点　代数分支点

△     Riemann面

 

 

第三章     复积分（Cauchy的思路）

1.       复函数的积分

1.1 复积分的定义　复平面上的线积分

△     定义

△     参数形式

△     复积分作为和

△     复积分的性质

1.2 复积分作为路径的泛函

1.3 由复积分定义的对数函数

2.       Cauchy定理　解析函数的积分定义

2.1 积分与路径无关的复函数　解析函数

2.2 Cauchy定理

2.3 复连通区域中的Cauchy定理

3.       不定积分

4.       Cauchy积分公式

4.1 环绕数

△     环绕数在拓扑中定义

△     由复积分表示的环绕数

△     同调

4.2　Cauchy积分公式

△     环绕数 情况的Cauchy公式

△     环绕数 情况的Cauchy公式

△     无界区域的Cauchy公式

△     Cauchy型积分

5.       无穷阶可导的解析函数

 

 

第四章              级数理论（Weierstrass的思路）

1.       级数的基本性质

1.1    复级数

△     收敛的概念　用级数表示一个函数

△     单个级数收敛情况的分类　绝对收敛

△     几个级数（函数级数）收敛情况分类　一致收敛

△     收敛的条件及各种性质

△     级数收敛的几个判据

1.2    幂级数

△     幂级数

△     Abel第一定理

△     收敛圆　收敛半径

△     收敛半径的求法

（上、下极限）

2.       Taylor展开

△     Taylor展开

△     解析延拓：引子

△     由级数定义解析函数

△     幂级数的和函数在收敛圆上必有奇点

△     几个例子

3.       Laurent展开

△     双向幂级数

△     Laurent展开

△     Taylor展开和Laurent展开

△     Laurent展开举例

直接计算  间接计算

4.       奇点

△     孤立奇点

△     孤立奇点的分类

△     可去奇点

△     极点

△     本性奇点

△     无穷远点作为奇点

△     非孤立奇点

5.       整函数与亚纯函数

△     整函数

△     亚纯函数

 

 

第五章              留数定理

1.       留数定理

2.       留数的计算

△     任意孤立奇点留数的计算：直接展成Laurent级数

△     极点的留数

△     无穷远点的留数

3.       实积分的计算

  3.1     型积分 （有理三角函数）

3.2 无穷积分

△      型积分  （实轴上无奇点情况）

△     型积分

4.       积分路径上有奇点的积分

△     主值积分

第六章     积分变换

1.       Fourier变换

1.1   Fourier级数回顾

△     线性矢量空间 完备集

△     Fourier级数 谱

1.2   Fourier变换

△     Fourier变换的定义

△     Fourier变换的性质

2.       Laplace变换

△     Laplace变换

△     Laplace变换的性质

3.       δ-函数

△     δ-函数的定义

△     δ-函数的性质

△     δ-函数的Fourier变换和Laplace变换

△     δ-函数的表示

△     高维δ-函数

 

 

 

 

 

 

 

 

 

提纲

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