假如赌球的盈亏只有两种可能， 赢或者亏， 那么用凯利公式优化下注比例就行了。如果有三种可能，但是其中打平不赢不亏， 则也可以简化为盈亏两种可能， 但是要用到我的书里介绍的优化投资比例公式[1]。如果三种盈亏都不是0, 那么我们需要通过一元二次方程求解最优投资比例。

例如皇马主场对拜仁，欧盘开出为主队2.25（包括本金的赔率）、平局3.00、客队3.00，这就是说，你可以选择三种结果中的一种下注。选第一种， 即赌主队赢， 则赌对了赢利2.25-1=1.25倍（连本带利2.25倍）。 选第二或第三种， 赌对了赚3-1=2倍。赌错了都是输1倍，

我们用R表示赔率， 用r表示赚的比例（简称：赢利率）， 则R=1+r。

       不管你选三种结果的哪一种，都只有输赢两种可能。 所以我们可以用凯利公式优化下注比例。 凯利公式是：

其中K是最优下注比例， P 是赢的概率， 1-P是亏的概率，r是赢利倍数， r=R-1。

       比如， 你预测主队赢的概率是0.5, 则K＝0.5-0.5/1.25=0.1=10%。这就是说， 你把你所有资金的10%拿来赌主队赢，是最优方案。

凯利公式的前提是假设你面对类似的赌局赌无数次。下注比例大于K， 则风险较大，欲速不达；小于K则赢利太慢。

假设K=0， 可以推导出对你有利的胜负概率。 即由

0=P-(1-P)/r

可以解得

       比如主队赔率是R=2.25。则有P=1/2.25=0.4=40%。这就是说， 主队赢的概率超过40%，才值得你下注主队赢。

       假如我们再用公式K=1/R计算平局和客队赢的概率， 你会发现， 三个概率分别是0.444, 0.333, 0.333, 相加等于1.11>1――这是不可能的。

       原来庄家这样设计，是为了保证返还率在1以下， 比如0.9。返还率是指：平均说来，庄家支付相对收入的比例。

       假设三种下注返还率相同，都是F; 三种事件的概率（即庄家预测的概率）是P₁, P₂, P₃，三种赔率是R₁, R₂, R₃。那么，就有：

       由上式和P₁＋P₂＋P₃＝1可以推导出

 

把上面例子中三个赔率带进去， 可以算出F＝1/1.111=0.9。

庄家预测的概率就是P=F/R， 对于上面的例子， 可以算出庄家预测的三种概率是：

       比较由公式(2)算出的概率， 可见， 赌徒预测的概率大于庄家预测的概率1/F倍时，下注才是合理的。否则应该放弃下注。

       欧洲盘是三种下注， 每种下注只有两个结果：输和赢。但是亚洲盘只有两种下注――主队赢还是客队赢， 每种下注一般有三种结果。比如：输， 和， 赢； 输，输一半， 赢；输， 赢一半，赢。

       两个典型的赌局如下：

其中贴水就是上面的盈利率r=R-1。

盘口表明让球和盈亏规则。如果是一个数字那就是让球数，少于它则输， 多余它则赢，等于它则平手――不赢不亏。如果是两个数，左边的数表示让球方赢多少球时，赌它赢的人输一半，低于这个数就全输； 右边的数表示让球方赢多少球时，赌它赢的赌客赢一半，高于这个球数就全赢。因为半球不可能发生，而那两个数中总有一个带有半球（.5）, 所以不管下注谁赢，都有三种输赢可能。

常见的亚洲盘盘口有下面几种：

盘口只有一个数字， 而且是非整数，比如0.5时，盈亏只有两种可能， 显然可以使用凯利公式优化下注比例。其他都有三种盈亏可能。不能使用凯利公式。

下面我们用P₁, P₂, P₃表示一种下注的三种结果发生的概率，r₁, r₂, r₃表示相应的赢亏。

当盘口只有一个数字（0， 1, 2……中的一个）时，如果我们赌让球方（主队）赢，则三种可能结果及其概率和盈亏是：

1)      赢， 概率是P₁，r₁=让球方贴水;

2)      平手，概率是P₂，r₂=0,

3)      输，概率是P₃，r₃=-1(亏一倍)。

那么， 期望收益就是：

这时候， 我们可以用我在《投资组合的熵理论和信息价值》¹一书中提供的最优比例公式得到最优下注比例：

如果q*小于或等于0, 那么就应该放弃下注。要使q*>0， 必须E>0, 也就是

上式就是判断是否值得下注的条件。

如果盘口是两个数字，r₂就不再是0。 如果左边是整数, 则P₂表示亏一半的概率，

r₂= -r₁/2; 如果右边是整数，P₂表示赚一半的概率，r₂= r₁/2;  r₃还是 -1。

这时候没有办法用凯利公式或者我以前提供的最优比例公式， 但是可以通过求解一元二次方程得到最优比例。

假设一种投资或者赌博有三种可能盈亏， 则平均回报（即1+平均复利）是：

现在要求使R达最大的q。我们把R换成logR:

运用微积分知识， 我们知道当

 

时R和logR有最大值。由上式可得一元二次方程：

其中， , c=E(期望收益)。

       将r₂ = r₁/2(假设存在赢一半的情况)和r₃= -1 带入上面式子，可得：  

, 。如果存在输一半的可能， 则用- P₂代替P₂，其他不变。

上面方程(11)可能无解， 如果有解， 则有两个根：

我们分别把q₁和q₂带入（9），看哪个使logR较大，使logR较大的根就是我们要求的最优投资比例q*。

       判断盘口有两个数字赌局是否值得下注，也要看根据自己预测的概率和庄家的贴水算出的期望收益E是否大于0， 如果E小于或等于0就不应该下注。

       我们能否把不同的赛球结果当作不同的证券，用投资组合的方式分散下注？

       初步研究表明，对于欧洲盘，同时下注于赢，平，输三个中的两个是可以的，下在三个上面就不合算了， 因为自己输给自己了， 另外还要付给庄家费用。对于亚洲盘，同时下注于两方也是不合算的。 但是如果两个庄家开出的赔率不同， 或者一场球的亚洲盘和欧洲盘显示的庄家预测的概率相差较大， 那么我们就可以对冲下注――一边赌A队赢， 另一边赌B队赢。两边的下注比例应该根据我们的概率预测而定。因为一般说来，庄家之间的盘口误差不会超过1－F。对冲下注相当于利用庄家之间的误差提高返还率。要赢钱还是要靠概率预测。

我将在幸存者网站[2]提供亚洲盘最优比例计算，以及分散下注最优比例计算。

---