关于“数学”的对话（48）

（接（47））

 

乙：复数本身是相当于由相互正交的实、虛数轴构成的平面上的点，

如果变数和函数都是复数，它们就相当于应有变数平面上的点，与函数平面

上的点，一一对应的关系。

甲：就是说，每一个复变数z=x+iy，都应一一对应于复函数w(z)=u(z)+iv(z)。

乙：其中，x、y都是相应的实变数，u、v都是相应的实函数。

甲：这样，每个复变数z=x+iy的“无限小”，就应有两个实变数x和y的“无

限小”来确定。

乙：那么，相应一一对应的复函数w(z)=u(z)+iv(z) 的“无限小” 就应有两个实

变数u(z)和v(z)的“无限小”来确定。

甲：这样，每个复变数的各两个实变数，就都可能有每个复函数的各两个实函数的多个，甚至无穷多个不同的值。

乙：是呀！如何能肯定复变数z=x+iy，与复函数w(z)=u(z)+iv(z)的一一对应呢？！

甲：而且，复变数z的单值复函数的反函数也可能会是多值，甚至无穷多值的，

乃至这些值可以形成连续的曲线。

乙：例如：复函数w(z)=绝对值z，就也应是个复数。若它是个单值复函数，

甲：它的反函数z= w(z)与它的“自共轭” 的乘积，对于w的给定值c就应是=a+ib，

对应的反函数的值就是，z=(a+ib)(a-ib)=c,而有无穷多个绝对值与它对应，

而这些值就形成整个圆周。

乙：就都必须适当地分段才能一一对应。

甲：但是，对于可微函数族，这重情况，就不会出现，而对此的证明，就是复变函数论的任务之一。也只能讨论对于可微函数族的有关问题。

（未完待續）

 

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