|||
作为结束,本次对于大数定律的讨论将从数学角度进行。
首先,数学最希望得到命题的“充要”条件,因为充要条件是对命题本身的一次等价刻画,是对命题内涵的重新认识。以下均假设X1,X2,...,Xn...代表独立同分布的随机变量序列,
强大数定律 等价 X1的一阶矩存在;
弱大数定律 等价 xP(|X1|>x)收敛到0,当x趋近于正无穷。
由此也很容易看出,强大数定律蕴含了弱大数定律。具体内容大家可以查阅Durrett的教材第一章。定理的证明用到了“截断”技术。
另外,我们以强大数定律为例,“X1+X2+...+Xn/n几乎处处收敛到E(X1)”。把E(X1)移到左端通分之后,可以理解成
Xi-E(Xi)(i=1,2,3...)的算术平均值几乎处处收敛到0。我们换个角度看,可以把它理解成Xi-E(Xi)求和之后的增长速度不如“n”快。数学分析的一个重要内容就是寻找变量的“阶”。那么Xi-E(Xi)求和之后的阶应该是多大?除以这个“阶”以后,它在什么意义下收敛到非零量?
由此,引出了中心极限定理。中心极限定理告诉我们,这个“阶”应该是“根号n”的样子。
Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )
GMT+8, 2024-9-27 07:30
Powered by ScienceNet.cn
Copyright © 2007- 中国科学报社