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关于“数学”的对话(12)
(接(11))
甲:我们可以具体看看:无穷项级数与其极限值的“相等”,也是必须注意有这个“无穷项”条件的。
乙:是啊!应该举几个实际的例子来说明。
甲:这种实例很多,我们就看看利用泰勒公式把一些重要的函数展开成的无穷项级数吧!
乙:泰勒公式就是:f(x)=f(a)+(x-a)f’(a)/1! +(x-a)^
甲:是的!当a=0.,就得到麦克劳林公式:
f(x)=f(0)+ xf’(0)/1! +x^
乙:啊!这就能把f(x) 展开成的x的无穷项幂级数了。
甲:例如,对于函数e^x,就有:
f(x)= f’(x)= f”(x)=…=e^x,
f(0)= f’(0)= f”(0)=…=1,
乙:啊!这就得到了函数e^x的无穷项幂级数:
e^x=x^n/n!,n由0到无穷求和。
甲:当取x=1, 这就得到了e值的无穷项级数表达式:
e=1/n!,n由0到无穷求和。
乙:由此,已可看到当取n=10时,e只能准确到6位小数:
e~2.7182819(最后一位,9,已不准确),
只有n趋于无穷,才能得到e的精确值。
甲:也只有n趋于无穷,才能得到函数e^x的精确值。
否则,就只能是一定精确度的近似。
乙:有个欧拉公式,将函数e^(iA)表达为实、虚两个3角函数表达:
e^(iA)= cosA +isinA, e^(-iA)=cosA -isinA,
这个公式的两边就应是严格地相等吧?
甲:是的!这个公式两边都是有限的项,无须相等的任何条件,就应是严格
地相等的!
乙:这个欧拉公式,联系起e^(iA)函数和3角函数,这两种重要的函数,确实很
有用处。它是如何得到证明的呢?
甲:这就还是要利用泰勒公式。
乙:这个欧拉公式涉及复数,还能利用泰勒公式吗?
甲:当然,利用泰勒公式已证明了多种涉及复数的函数。例如:
由e^x=x^n/n!,n由0到无穷求和,
当取x=iA,即得:e^(iA)=(iA)^n/n!,n由0到无穷求和。
又有3角函数与双曲线函数:
siniA = iA -(iA)^3/3!+(iA)^5/5!-…+(-1)^(k-1)(iA)^(2k-1)/(2k-1)!+…。
cosiA =1-(iA)^2/2!+(iA)^4/4!-…+(-1)^k(iA)^(2k)/(2k)!+…。
sinh(iA)=(iA)+(iA)^3/3!+ (iA)^5/5!+…+(iA)^(2k-1)/(2k-1)!+…。
cosh(iA)=1+(iA)^2/2!+ (iA)^4/4!+…(iA)^(2k)/(2k)!+…。
乙:啊!因有;sinh(iA)=isin A; cosh(iA)=cos A,
而有:
e^(iA)=cosh(iA)+sinh(iA)=cosA +isinA,
e^(-iA)=cosh(iA)-sinh(iA)=cosA -isinA,
这就证明得到了欧拉公式。
甲:还应看到:
e^(iA),cosh(iA),sinh(iA),cos(iA) ,sin(iA),各函数都是表达为无穷
项幂级数的形式,因而都必需趋于无穷的项,才能趋于各相应的函数,否则,
就只能是有一定精确度的近似。
但是,由它们证明得到了欧拉公式,就因消去了必需趋于无穷项的条件,
而成为严格地相等的!
乙:这就更加表明:区分等号“=”两边“趋于”与“等于”的差别,弄清
其差别及转变的条件,的重要性。
甲:当A=派(180度),由欧拉公式还可得到重要的关系式:
e^(i派)=cos派+isin派=-1+0, e^(i派)+1=0,
e^(-i派)=cos派-isin派=-1-0, e^(-i派)+1=0,
以及:
e^(i派)+e^(-i派)=-2,
e^(i派)-e^(-i派)=0,
(未完待续)
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