第二节  量子力学中的一维振子

一、无限深方势阱?

方阱的势能在 区域内有如下特点（图9.1）? 

     

        在x<0和x>2a两个区域的势能是∞ ，因此电子被关在势阱中，钻不出两侧的壁垒，所以壁外电子波函数为零，只有中间U=0的一段可写出定态薛定谔方程：?

           

即?

                 （9.4）?

方程（９.4）是一个二阶线性齐次常微分方程。其通解是?

ψ(x)=Asinkx+Bcoskx（9.5）?

其中

?

利用定态波函数ψ在x=0和x=2a处连续的边界条件，而且ψ(0)=0，ψ(2a)=0可求得：?

                  B=0，k=nπ/2a        （9.6）?

将（9.6）式代入（9.5）得?

                 ψ_n(x)=A_nsin(nπ/2a)x          （9.7）?

对（9.7）式进行归一化处理：?

?

即：?

 

而

 

                 

 

故

                        A_n²·a=1

                        A_n=1/a^1/2

                             （9.8）?

将（9.8）代入（9.7）得?

ψ_n(x)=(1/a)^1/2sin(nπ/2a)x              （9.9）?

一维无限深方阱中电子的能量可通过求解含时间的薛定谔方程得到，但能量Ｅ_n只能取如下特殊值?

          （9.10）?

由德布罗意驻波知电子在对应能级上的动量是：?

?

无限深势阱中的位置测不准量△x ，可以理解为阱宽2a ，由测不准关系有

                 

此时，△p_x≠p_n，势阱的宽度△x =2a类似于双缝实验中的缝宽△x，由于△p_x≠p_n，此时与粒子联系的基准曲率半径只能由得布罗意驻波求得。因，

          

故?

?

但当 时，，这时电子表现出宏观的点粒子特性（体现为 ）。象双缝一样，物质波长与阱宽差不多是物质波产生的条件。物质波波长或将会产生什么运动效应，这应可以由实验检验的。

由基准曲率的定义?

??

于是（9.9）可写成：?

?        （9.11）?

写出带有时间的定态波函数?

??    ??

故            

    ?

可见，即使在无限深势阱中，电子波表示的也是曲率波。?

二、线性谐振子?

如果在一维空间内运动的电子势能为1/2mω² x² ，ω 为常数，这种体系就称为线性谐振子。双原子分子中原子之间的势能U是两原子间距离x的函数，它可以近似地看成线性振子的势能。?

量子力学中，处理一维谐振子的运动，用一维定态薛定谔方程?

         （9.12）?

式中?k=mω²

?

令?

?

得方程?

                      （9.13）

方程（9.13）的解是?

                    (9.14)?

将(9.14)代入(9.13)得：?

?

上方程中只有λ=1+2n，n=0，1，2……才能得到物理上允许的解。也即只有能量?

         

时， ψ才有符合实际情况的解，并且当|x|→∞时解的值将趋近于零。与能量E_n对应的解是?

                （9.15）?

式中?

??

H_n(αx)是一个n次多项式，称为厄密多项式。?

A_n为归一化系数。对波函数（9.15）做归一化处理可得?

?

于是（9.15）式可写成?

                    （9.16）?

要对量子力学做出曲率解释，则对线性振子中波函数（9.16）也必须做出曲率解释。而要对（9.16）做曲率解释，又必须证明其振幅中含有电子在某种状态下的曲率因子，因而电子波才是曲率波。

线性谐振子的能量?

?

故

      ??             

而

                                     (9.17)

由于每一个能级的平衡点?

          

令        U(x)=0         

故由动能公式得：        

而(9.17)式变为?

                        (9.18)?

由德布罗意物质波：?

??

则     

                              

即为我们定义的由动量p_n给出的电子在线性谐振子中的基准曲率。?

故                               

                                           （9.19）?

将（9.19）代入（9.16）得：?

                (9.20)

（9.20）式中R_n是我们定义的与能量E_n(U(x)=0)对应的动量为p_n的电子的基准曲率，可见谐振子中的电子波，就是以曲率R_n为基础的波动。波函数振幅的平方也与基准曲率R_n成比例。波函数的相位也由基准曲率R_n决定。线性振子中基态电子(n=0)波函数的物理意义与经典力学的矛盾也得到了消除。在U(x)=0的平衡态，动量p₀最大，因而R₀最大,曲率最大，几率最大，有了合理的说法。速度最大，几率最小的矛盾不复存在^[3]。

线性振子中的电子波能够表述成曲率波表明，量子力学曲率解释不光只对氢原子适用，对其他情况也适用。曲率解释在量子力学中是普遍适用的。对量子力学几率解释做全面而深入的改造，使其适合量子力学曲率解释是大有希望的。

由于曲率解释能包容几率解释，因而几率解释能够描述的多粒子系统统，曲率解释照样可以描述。

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