概率这个问题，不但普通人似是而非，连很多专业工作者也似是而非。半年前一位朋友就《三联生活周刊》知名科技记者“土摩托”博客里的几篇文章问过我，这几篇文章讨论的就是概率问题。

土摩托仔文章中说，“我觉得，这个问题和你问谁有关。假如你问父母，他们告诉你说，他们的两个孩子至少一个是男孩，那么，另一个是女孩的概率是2/3，我的答案没错。但是，假如你问一个男孩，他告诉你说，他是他们家两个孩子中的一个，那么，另一个是女孩的概率就是1/2了，我的答案就错啦。”

土摩托还翻译了这个问题，“一家有两孩子，一个是男孩，另外一个孩子是女孩的几率是多大？可能直觉告诉我们另外一个孩子是女孩的几率应该是1/2， 或50％， 但是数学家反驳道正确的几率可能是2/3, 或67％（假设生男孩或女孩的概率相等），为什么呢？使用对这个问题的一个命题分析，我们随意选择一个有两个小孩的家庭。一旦选定了家庭，我们判定至少一个孩子是男孩。（例如，从所有有两个孩子的母亲当中，我们选一个问她是否至少有一个儿子。）在这个情况下，对问题明确的陈述可能是：从这种有两个孩子的所有家庭里的设定中，有一家被随意选定，且发现有一个男孩。另外一个孩子是女孩的几率是多大？让我们来看看两个孩子可能的组合。我们用B代替男孩，G代替女孩，每一次组合我们先列出大的一个。有四种可能的组合：BB BG GB GG。BG 与 GB分别列出，因为BG表示家中大的一个孩子是个男孩，而GB代表家中大的一个孩子是女孩。上述的组合都是同等可能的。既然我们得知一个男孩（不知道具体是哪一个）是男孩，我们排除GG的组合。这样，我们剩下的可能组合是：BB BG GB。现在我们想要数“另外一个”小孩是女孩的组合的个数。有两个组合：BG 和GB，由于可能的家庭共有三个组合数，在其中两个组合里有一个是女孩，该概率为2/3。”

关于土摩托的这几篇文章，请看链接：刚吵了一场高质量的架（http://www.sohoxiaobao.com/chinese/bbs/blog_view.php?id=669905），感谢读者棒棒儿（http://www.sohoxiaobao.com/chinese/bbs/blog_view.php?id=670071）

朋友问我之后，我写了篇文章作答，分析不一定对，要请大家批评。以下是我的回复：

第二个孩子是男是女的概率究竟是多少？这个问题看似很简单，要说清楚其实很复杂。首先要明白几个概念。

独立事件：指在概率运算中，和其他事件的发生并无关联的事件；

相关事件：指在概率运算中，和其他事件存在相关关系的事件；

系统：指存在一定的关系的事物的总和（粗略的定义）；

预期：指事件发生前对事件“预先”的期望；

参照系：指在考察一个事件的概率是，把它放到那个系统中去思考，等于是使用什么参照系来考察。

 

我们先从较简单的扔硬币来说这个事情。我在高考的时候就选择哪个学校很头疼。于是决定扔硬币。我决定，扔到背选北大，扔到花选北师大。第一次我扔到背。于是我说，扔一次随机性太大了，扔三次比较有把握。我再扔了两次，都是背。于是我又说，扔三次还是太武断，扔十次。我连续扔了九次背。我第十次会扔出什么玩艺呢？如果我们要计算第十次扔出背的概率，那么就不能只考虑一只硬币只有背和花，于是扔到二者的概率都是1/2；而是必须要把十次事件看成一个“相关事件”，最后一次的概率必须把前面的结果也考虑进去。在这个例子中，第十次仍然扔出背的概率是1/2的的十次方，也就是1/1024，扔出花的概率将是1023/1024。但是要注意，这里第十次扔出背的概率是1/1024是有前提的，前提是前面九次扔出的都是背，而最后一次的概率计算把前面的也考虑进去了。因此，这里第十次的概率计算是要有严密的数学表述的：连续十次扔出背的概率是多大？这就是一个相关事件的概率计算。假如你连续扔了一亿次背，那么第一亿零一次扔出花的可能性极大。我们打牌的时候经常说，连拿了十把烂牌，这把总该拿一次好牌了吧。这个常识在统计上讲是站得住脚的。但是，我们经常发现，有时候打牌一晚上总是拿好牌，有时候总是拿坏牌，这又是怎么回事呢？这就是预期在作怪。好牌坏牌，是根据打牌的规则定义的，它体现了人的预期。在一个牌局中，参与者有3-6人不等，于是，这个时候好牌出现的概率，是要选用整个系统作为参照系。我们假定一场牌局中会出现好牌，烂牌，所每种牌出现的概率都是1/2，当一个人拿到好牌，同时必然有另一个人拿到了烂牌。只是，“概率”可不管谁想拿到好牌，谁想拿到烂牌，从整个牌局来说，好牌烂牌出现的概率都是1/2。如果要计算每个人拿到好牌的概率，计算方法就比较复杂了，如果要计算每个人连续拿到烂牌或者好牌的概率，情况将更为复杂。事实上，如果一个人一晚上打了二十局双抠，连续拿了二十把烂牌的概率其实很小，但是我们发现这样的事例经常出现，为什么呢？原因在于，这个世界上每天都有人打双抠，一天晚上二十局，在所有对局中是一个极小的数量，当数量达到一定程度的时候，任何事情都有可能发生，这就是所谓的大数定理。我们经常发现，在买彩票的时候，总有那么一些人，对足球一窍不通，仅仅机选了5注，就中了500万，但我们自己买的时候，怎么买都买不到。原因在于，就单个人来说，机选5注的概率是百万分之一，但是，如果有一千万个人买彩票，几乎一定会出现大奖（如果有的话），因为就整个系统来讲，购买彩票的数量已经达到了临界值，这个时候随机事件变成了必然事件，只是，这个奖落到谁的头上还是一个随机事件，单个人中奖的可能性都是百万分之一。我们说中奖的这个人运气好，并不是胡说。这是一个社会性尺度的问题。如果只关注个体，很容易落入社会性尺度误区，所以我们在看待社会问题的时候，要看到一个群体而不是个体。

因此，就扔硬币事件来说，单次扔硬币的概率（独立事件），永远是1/2，因为硬币只有两面，但是考虑一个连续时空内（这个地方比较复杂了，比如，你每年扔一次硬币，扔100年，那么第一年和第一百年的情况能够放在一起考虑吗？）的扔硬币事件时（相关事件），概率计算就发生了改变。出现这个情况的原因是，事件所处的系统，也即参照系不同了。

再回到男女问题。

生男生女其实有两个意义，一个是遗传学意义，一个是社会学意义。遗传学的意义是指，因为遗传的特性决定，生下来的孩子不是男孩就是女孩。我们不去考虑中性人和两性人，因为我们知道，那是遗传学上的缺陷和变异，不在我们的讨论之中—那本身也是一个极小的概率的事件。所以，遗传学意义上的生男生女，概率都是1/2。所以如果我们考察“一个”怀孕的母亲即将生的孩子是男孩还是女孩时，概率永远都是1/2，不管她之前已经生了一个加强连的男孩，她下一个是男孩的概率仍然是1/2；而社会学意义是指，不管单个母亲生男生女，整个人类社会的性比比例，自然状况下都是1：1，也就是一半团脐一半尖脐。聪明的读者会发现，性别的社会学意义其实是由遗传学意义决定的。为什么要把这两个概念分开呢？因为当你选择一个子系统的时候，情况会发生改变。我父母所在的学校，20个教师子女连我在类一共3个男孩，其它十几个全是女孩。这绝对是一个小概率事件，也绝对不符合遗传学，但是它确实发生了，发生的原因仍然在于，相对于整个社会，相对于人类历史来讲，20个孩子是一个极小的群体。举个例子，一个母亲已经生了10女孩，名字分别是大弟，亚弟，招弟，望弟，盼弟，念弟，迎弟，思弟，小弟，小弟弟，那么，第十一个总该是男孩了吧！其实，概率仍然是1/2。为什么呢？如果你把生孩子看成一个连续的相关事件，你就不能只计算自己的孩子的性别，因为人类社会是一个共变的大系统，要么，你只考量个体，要么，你必须把参照系放在整个人类的大背景下面。所以你必须把所有人的性别都计算在内，这种情况下，你先前生的10个弟跟100亿的数量级比起来，简直微不足道，因为100亿人中，肯定已经有50亿男，50亿女，如果100亿人都是女的，那么下一个是男孩的概率将极其大，大到肯定会是男的，但我们知道，这是不可能的，是一个伪命题。所以，最后的结论是，当一个母亲怀孕时，不管她前面生了多少个女孩，她这个孩子是女孩的概率仍然是1/2。这里其实有一个隐含的结论，那就是，生男生女不只由自己决定！它体现的是一个物种的自组织和自协调，也就是说，在某一个给定的时间段内，如果其它母亲生的都是女孩居多，那么你生男孩的可能性就极大。因为整个物种要维持性别的平衡。但是，单个母亲的预期是无法改变这一事实，也就是说，你想要男孩，除了自己多喝点酸梅汤外，还要看别的母亲生的是什么。这有点不符合常识，这里没有篇幅详细解决，有疑问的朋友可以去看系统论、协同学和极限定理。还需要提出的是，性别并不是受精那一刹那决定的，但是，性别一当形成，就无可更改。所以，当一个母亲怀孕到达一定的时间后，讨论她下一个孩子性别的概率，根本失去意义—她的孩子的性别已经是一个必然事件或者说唯一事件，而不再是一个随机事件了。心理学上叫全或无。

土摩托的这个例子，是有问题的。他说，如果一个母亲有2个孩子，已经知道一个是男孩，那么另一个是女孩的概率是2/3，原因是 BB，BG，GB，GG，去掉GG（两个都是女孩，因为已经肯定有一个男孩了），一共3种可能，是女孩的可能出现了2次，所以是2/3。这样的分析方法有问题，因为加入了排列在其中，使得概率的计算被混淆了。举一个在数学上具有同等意义的例子：假定有一个无限大的袋子（人类社会），里面装着无限多的两种颜色的球（人类社会无限多的男性和无限多的女性），现在有个人（母亲）从其中取出了两个球，已知一个球是红色的（已知一个是男孩），那么另一个是绿球的概率是多少呢（女孩）？你绝对不会去考虑红-绿，绿-红，红-红，绿-绿这种情况的，因为红-绿，绿-红二者的意义是完全一样的。土摩托的这个例子引入了兄弟或者说排行的概念，使得这个命题成为一个混合命题，也就最终成为了一个伪命题。所以，这个例子的概率仍然应该是1/2，因为排行是人类社会的等级符号，不具备数学意义和社会学意义，兄-妹和姐-弟，没有概率上的意义，即便是有，放在社会性大尺度下去思考，也是微乎其微的，通过复杂计算最终将得到一个近似于1/2的概率。也就是说，当“母系统”倾向于无限时，子系统的概率最终取决于母系统的状态。

解释到这里，情况应该比较明白了，如果有疑问的地方，可以抛开那些跟量子力学和系统论有关的术语不看。

重申一下基本结论：每一个母亲单次生男生女的概率都是1/2，不管她此前生育孩子的状况；母亲生男孩的概率还要受到其它母亲的影响，这个时候是一种“共变的”、“协同的”关系。

（去掉了后面批评“土摩托”的部分）

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