摘要

本文讨论热力学中VP，VdP和PdV的意义，它们实际上和热力学没有关系， 属于力学做功问题。 

先定义真空盒子， 写出他的热力学函数， 介绍几款真空发电机，以便揭示VP，VdP和PdV的意义。

一 真空盒子

有一个长方形的盒子里面的空气被抽出来了，这就是我们说的真空盒子， 盒子的体积记作V。真空内部压

强（p）自然为零，但盒子很结实，在我们讨论的压强范围内（1大气压左右， 记作P），盒子可以保持形状

不变。

如果环境温度为T， 真空的温度就也是T，因为真空可以和环境热平衡。环境温度升高时，真空不吸热，热容量

为0.真空的熵为零（S=0）。   

盒子有一个面可以移动，用力拉可以让真空体积增大，真空体积减小的时候，可以对外做功，显然功可以用于发电。当真空达到一定体积的时候，有一个栓子，可以让它保持在这个体积，人不用干预。

真空盒子的实例包括堵了口的针管，或者一个有活塞的空的气缸。真空盒子的热力学函数为  

1. 内能

U = 0，

dU = -pdV+Tds = -0dv+T*0 = 0

2. 焓

H = U+PV = PV，

dH = PdV+VdP,

3. 自由能

F = U-TS = 0-T*0 = 0

dF = -pdV-SdT = -0dV - 0dT = 0

4. 吉布斯函数

G = U+PV-TS = PV

dG = PdV+VdP,

本文不讨论G， 而集中讨论焓H，特别是焓的全微分dH。 

二 几种发电方法

1. 直接发电

在一个大气压下（P₁）， 用力拉动使得这个真空盒子从体积为0增加至体积V， 人做功

W=P₁V， 

这时候， 开始让真空体积缓慢收缩， 同时发电， 总发电量

E=P₁V。 

电能当然是来自于人做的功。 

2. 增压发电

为了多发电， 先在1大气压(P1)环境下拉动盒子形成体积为V的真空，做功为 

W₁=P₁V， 

然后通过一个和盒子截面一样大的小窗推进到一个高压仓内，压强为P₂ 

又做功

W₂=P₂V-P₁V

两次做工的和为

W=W₁+W₂=P₂V， 

然后， 在高压舱内使得真空体积收缩, 可以发电 

E=P₂V。

增压以后我们发的电就多了，这是由于多了一步做功过程，  

“羊毛出在羊身上”。 

3. 昼夜压差发电

一天中气压的变化是中午压强低（P₁）， 半夜压强高（P₂）。

于是， 在中午的时候， 人做功制造出体积为V的真空

W₁=P₁V=H₁， 

把这个体积锁定， 一直等到半夜， 这时候系统的新的焓值为

H₂=P₂V， 

这时的发电量为

E=P₂V。 

第二天中午， 把晚上发的电用一部分， 驱动真空盒子使其体积从零变为V，到半夜又发电， 

这时候单日发电量

E=（P₂-P₁）V= VΔP

从此， 日复一日，都有电用， "这整个一摇钱树呀!"   

请问，这发出的电是哪里来的？天上开始掉馅饼了？  

现在发出的电， 正是方法2里的W₂， 本来是要人来推动盒子做功的， 现在是自动的。

那么昼夜的压力差是怎么形成的呢？

我们并不关心它形成的细节，我们选一种对我们有用的说法。 大气顶层的空气有一定晃荡， 白天， 

我们这里的大气的顶层部分跑别的地方了，气压低， 晚上这些气体又跑回来了， 气压高。

等价地说， 有神人在中午，把大气提起了一部分， 气压低， 这时赶快把真空盒子撑开， 到晚上， 神人把

提起的大气放下来了， 气压增高， 这时候让真空盒子收缩， 发电。如果我们不发电， 神人每日提起放下，

这是他的日常。  

如果我们发电， 神人就得多做功， 因为晚上他把气体放下以后，这些气体下沉了一些， 神人第二天再提起

得多使力气。

具体一点，我们说这个神人是太阳。就是太阳经过某种机制， 驱动了我们的发电装置， 发出的电能是太阳能的一部分。

这样反倒没有神秘了， 本来就有太阳能白白的落在地球的各个地方。  

三 习题

有一个高压仓，每天8：00-8：10， 系统处于增压模式，压强在10分钟内匀速地从一个大气压（P1）

升至两个大气压（P2），8：10以后，压力系统进入稳压模式。 

今天有实习生在高压舱内做真空发电实验，他在这10分钟内匀速拉动一个活塞，

制造了一个体积为V的真空， 并保持该体积不变。

请问实习生做功多少，如果把真空的体积减少为0，能发多少电？实习生赚了多少能量?

答.

8：00-8：10，增压模式，真空盒子的焓从0增至P₂V， 

ΔH = P₂V-P₁0 = P₂V, 

焓增加的过程如下

dH = PdV+VdP

ΔH=∫dH=∫VdP+PdV

=（P₁+P₂）V/2 +（P₂-P₁）V/2 

=P₂V

其中实习生做的功仅为  

W=∫PdV=（P₁+P₂）V/2

8：10以后，高压仓处于稳压状态，发出的电能为焓的减少 

E = -ΔH = P₂V -0 = P₂V.

实习生赚来的能量

E-W1 =（P₂-P₁）V/2 =∫VdP

相应地， 高压仓系统要比平日多消耗等量的电能。 

补充讨论 焓是真实的能量吗？不是，只是一个有能量量纲的数值。 

8：00-8：10， 真空盒子的焓逐渐增加，直到P₂V。如果希望这些焓转化为等量的电能，稳压系统是不能少的。 

当真空盒子收缩的时候， 稳压系统启动， 对真空盒子的收缩的表面做功， 这些功转化为电。如果稳压系统

不工作，发电实验就伴随高压舱内气压减少，P₂V不能转化为等额的电能，要打折扣。这时发出的电是高压

仓内气体“集资”的结果，如果真空的体积和高压仓体积可以比拟， P₂V转化出的电量将大大减少。所以焓

不是能量，只是能量的一个指标，如果稳压系统正常工作， 焓的数值预示稳压系统下一步需要做多少功，

转化为电。如果稳压系统不工作， 发多少电就看周围气体是否愿意集资赞助。 设想高压舱里不是空气全是水， 

真空容器就完全无法发电，因为压力马上从两个大气压变为零。   

举个例子，你去买包子。门口老头先收钱， 给你写个条子， 4个包子， 你拿着条子去窗口排队，正常情况下，

阿姨给你4个包子，条子顺利变成了包子。 一旦有意外，停电了，包子没熟， 做不了了， 这个条子不能吃， 

这时周围其他旅客可能给你匀一个两个包子吃。条子上写4个包子和真实的4个包子是不一样的。

结语

我们来说说普通物体的焓及其全微分。普通物体的焓为

H=U+PV

和真空盒子不同，物体的内能不为零，根据基本方程 

dU =-PdV+TdS

所以 

dH = Vdp+TdS  

解读： 物体吸热（TdS）导致内能增加，于是焓增加TdS，物体受热自己可以膨胀， 这时候不需要人来拉

动盒子。物体体积膨胀对大气做功（PdV），这本来使得PV项增加，但同时使得内能U减少， 抵消， 

不导致焓增。Vdp是增压系统做功，使得PV项增大，导致焓增。

一句话，   

物质的焓在微小过程里的增量等于压强增加引发的焓增与物质从环境吸收的热量   

dH = Vdp+TdS

预告：我们即将用类似的方法介绍TS, TdS 和 SdT。