能否一一对应与默认映射函数的选择无关

李鸿仪，Leehyb@139.com

定义1:将集合A={a1，a2，a3...}与集合B={b1，b2，b3...}的元素一一排列后，将A的第一个元素与B的第一个元素对应，将A的第二个元素与B的第二个元素对应......这种映射函数称为默认映射函数。

由默认映射函数的定义不难得到其性质:

性质1:默认映射函数符合映射A→B或B→A的单射定义。

证明:以函数f:A→B为例，设ai≠aj（其中i≠j），则由于它们在集合A中的位置不同，根据默认映射函数的定义，它们被映射到集合B中的不同元素，即f(ai)=bi≠bj=f(aj)，因此，默认映射函数满足单射的定义。

性质2：不同的元素排列次序定义了不同的默认映射函数。

证明：由于默认映射函数依赖于集合A和B中元素的排列次序，如果集合A或B中的元素排列次序发生变化，新的映射函数与原来的映射函数不同。因此，不同的元素排列次序定义了不同的默认映射函数。

性质3：任何双射函数f(ai)=bi，(i=1，2，3...)都可以表示成默认映射函数。

证明:任意双射函数f(ai)=bi，(i=1，2，3...)都可以排成下列默认映射函数:

a1，a2，a3...

b1，b2，b3...

证毕

这里要注意，虽然任何双射函数都可以表示成默认映射函数，但并不是任何默认映射函数都是双射函数。以后将会看到，无论是康托还是主流数学界，在这个问题上都错了:误以为任何无限的默认映射函数都是双射函数。

由性质1知，只需要考查默认映射函数是不是满射即可知其是不是双射函数，较为方便。

由性质2知，人们可以非常直观地从元素的不同排列次序来研究不同的映射函数，也十分方便。

性质3则使得对默认映射函数的研究具有了较为普遍的意义。

所以一般书上和包括康托在内的人们普遍都有意无意地采用这种映射函数，只是并没有像本文那样明确给出定义并加以如下更深入的研究:

定理1:集合A={a1，a2，a3...}与集合B={b1，b2，b3...}能否建立一一对应关系与集合元素的排列次序即与默认映射函数的选择无关。

证明:假定A与集合B能(或不能)建立如下一一对应关系

a1对b1，a2对b2，a3对b3...

现交换集合B的任意两个元素的排列位置，比如，将b1和b2互换位置:

a1对b2，a2对b1，a3对b3...

则A和B仍然能(或不能)建立一一对应关系。显然，通过这种交换元素的方法可以得到任何一种排列方法，但不管哪种排列方法，A和B都能(或不能)建立一一对应关系，所以，集合A和B能否建立一一对应关系与集合的元素排列次序无关。由性质2，不同的元素排列次序定义了不同的默认映射函数，所以，集合A和B能否建立一一对应关系与与默认映射函数的选择无关。证毕

 下面是定理1的另一种证明方法。

 证明：首先回顾一一对应关系的定义，两个集合A与B存在一一对应关系，意味着存在一个从A到B的双射函数（既是单射又是满射的函数），即对于集合A中任意不同元素，在集合B中有不同的像（单射要求），并且集合B中的每一个元素都有集合A中的元素与之对应（满射要求）。

假设集合A与集合B之间按照某种顺序已经建立了一一对应关系，记为f，也就是f(a1) = b1，f(a2) = b2，f(a3) = b3等等（这里只是举例一种对应顺序），这个f是满足双射条件的函数。

 现在考虑改变集合B元素的排列次序得到集合B'，无论这种排列次序的改变是怎样的，比如交换元素、对多个元素重新排列等等复杂情况，我们要证明A与B'依然能建立一一对应关系。

 我们可以构造一个新的函数g，从A到B'，由于B'中的元素就是B中的元素，只是排列次序变了，设B' = {b'1，b'2，b'3...} ，且假设b'1原本是B中的bk1，b'2原本是B中的bk2等等（也就是记录下B中元素到B'中元素的对应变化情况）。

 那么定义g(a1) = b'1（对应B中bk1），g(a2) = b'2（对应B中bk2）……，按照这样的定义方式，对于A中不同元素ai和aj（i ≠ j），由于原来的f是单射，而B'中的元素只是B元素的重新排列，所以g(ai) ≠ g(aj)，满足单射条件；又因为B'包含了所有原来B的元素（只是次序不同），所以对于B'中的任意元素b'k，总能在A中找到某个元素am使得g(am) = b'k，满足满射条件。

 这就说明g是一个从A到B'的双射函数，即A与B'能建立一一对应关系。

 反之，如果原本A和B不能建立一一对应关系，也就是不存在满足双射的函数，那么不管B元素如何改变排列次序成为B'，同样也不可能构造出满足双射的函数来建立A与B'的一一对应关系，因为元素本身没有实质改变，只是次序不同，原本缺失的双射条件不会因为次序改变就自动满足。由性质2，不同的元素排列次序定义了不同的默认映射函数，所以，集合A和B能否建立一一对应关系与与默认映射函数的选择无关。证毕

数学界普遍有一种观点: 如果某个默认映射函数不能使两个集合一一对应，则换一个默认映射函数，就可能使两个集合一一对应。

 例如，如果将N1={0}UN与N={1，2，3...}排列成:

G:  1,  2， 3...0

X：1 ，2 ，3

 则其默认映射函数显然无法一一对应::0元素没有对应项。

 但如果把排列秩序改写成:

 F：0，1，2…

X:  1，2，3…

似乎就能一一对应了。

 由于两种排列方法不一样，即默认映射函数不一样，因此，数学界普遍认为两个集合能否建立一一对应与默认映射函数的选择有关。

 由于排列方式即默认映射函数可以有无限多种，那么怎么判断他们究竟能不能建立一一对应关系呢？

 为了解决这个令人头痛的问题，数学界认为只要找到A，B之间能够建立起一一对应的一种排列方式即找到一个相应的默认映射函数，就认为A，B能够建立一一对应关系了。

 这种观点是如此广泛且根深蒂固，以至于如果有谁反对这个观点就可能会被人嘲笑。

 可惜的是，从来没有人曾经证明过这一点。而且这种自说自话的方法显然存在下列问题:如果两个默认映射函数得到的结论互相矛盾怎么办？该听谁的？比如上例中的两个默认映射函数，究竟哪一个是正确的？如果G函数是正确的，F函数为什么是错的？错在哪里？

 该事实充分说明了现代的主流数学界的治学态度是多么地随意，粗糙，不讲究证明。

 相反，定理1直接证明了这个观点是错误的。

由定理1还可以得到

推论1:若两个集合之间存在不同的默认映射函数，那么这些函数要么都是双射函数，要么都不是双射函数。

证明：由定理1可知集合A与集合B能否建立一一对应关系和默认映射函数的选择无关。因此，如果两个集合之间存在不同的默认映射函数，那么这些默认映射函数要么都能满足一一对应要求（即都是双射函数），要么都无法满足一一对应要求（即都不是双射函数）。证毕

 推论2:若两个集合之间存在不同的默认映射函数，只要其中有一种单射确实是双射，所有的单射就都是双射。

证明：基于定理1，既然集合间能否建立一一对应与默认映射函数选择无关。当存在不同的默认映射函数时，如果其中有一个单射函数是双射，根据推论1可知，其他的单射函数也必然都是双射。证毕

同理可证（读者应能自行证明）

推论3:若两个集合之间存在不同的默认映射函数，只要其中一种单射确实不是双射，所有的单射就都不是双射。

  推论1大大地简化了问题:我们只要研究任何一个默认映射函数，然后观察它是不是双射函数就可以了。当然观察必须仔细，绝对可靠，不能粗心大意。为了做到这一点，也可以观察其他默认映射函数作为验证，如果发现互相矛盾就必须重新审视。

 以上述G函数和F函数为例，G函数其实包含了同一个集合N与N之间的双射，当然是绝对可靠的，那么F函数当然就是错的，至于错在哪里，不妨先观察有限的情况。当N有n个元素时，N={1，2，3...n}，N1={0，1，2，3...n}，显然由于N中没有元素0而不可能建立双射函数。

要正确区分有限自然数集合和无限自然数集合，其实非常简单:前者的元素有上界即有最大自然数，后者则没有。在上述 N和N1的表达式中，如果n是一个自然数常数，当然都是有限集合，原因在于这时n本身就是最大自然数，但显然上述结果对于任意大的n都成立，这时候就没有最大自然数了，当然N和N1也都是无限集合了。所以，F函数不是双射函数。

 由此，用定理1及其性质很容易证明以下定理。

 定理2:N1={0}UN不能与真子集N={1，2，3...}建立一一对应关系。

 证明:将N1写成{1，2，3...0}，显然与N={1，2，3...}不能一一对应:1对1，2对2，3对3...后，N1中的0元素在N中没有原像。根据定理1推论3，把0元素置前时，{0，1，2，3...}也不可能与N一一对应，证毕。

 这里要注意，根据定理1及推论，各种默认映射的结论应该是统一的，因此，当出现两个映射的结论矛盾这一不正常现象时，必须找出其中真正可靠的的那个，同时还要找出另一个错误的原因和证据，这才是科学的态度。例如，默认映射

N1 1，2，3，...，0

N   1，2，3，...

其中包含了N~N这一绝对可靠的一一对应，所以得出的N1与N不能建立一一对应是可靠的，而以下的"双射":

N1  0，1，2，3，...

N   1，2，3，...

错误的原因已有叙述，而且可以用数学归纳法证明其不是双射。这里同样要注意，在数学归纳法中，没有最大的自然数k，因此数学归纳法研究的也不是有限集合而是无限集合。

定理2不难推广到一般情形:

定理3 无限集合不能与其任何一个真子集一一对应。

读者应该可以自行给出证明。

 为了叙述方便，以下把这种仅仅在省略号前面能够一一对应，但省略号里面并不能一一对应的康托式一一对应，称为伪一一对应或伪双射，而能够真正一一对应的则称为真双射。例如，相同集合之间的一一对应必定是真双射。

康托的所谓基数理论真伪不辨，从而必然导致大量矛盾。例如，令A=N={1，2，3...}，将A改写为{1，3，5...2，4，6...}，由于A和N是同一个集合，不管元素次序怎么变化，它们之间必然能形成真双射。但如果N可以与A中的奇数真子集一一对应，则A中的偶数真子集就在N中无对应项，从而导致A与N这两个相同的集合不能一一对应的矛盾。根据定理3，N与A中的奇数真子集并不能形成一一对应，所以上述矛盾不再存在。

附录1进一步研究了上述问题。

无限集合能与其真子集一一对应是传统集合论的基石，也是某些康托迷的精神支柱。该基石一旦被推翻，不管人们愿意不愿意，康托的所谓光辉都消失殆尽，集合论也必将重建。

上述事实进一步说明了现代的主流数学界被康托愚化到了什么程度。

每一个不甘被愚化的数学家，为了你们的子孙后代不被人嘲笑，站出来吧。

每一个有能力有志气的数学家，也站出来吧，用你们的智慧和专业知识，为重建集合论及相关学科做出应有的贡献。

你们的贡献将会被载入史册。

中国大陆也将不再因为在科学理论上的贡献占比太小而被世界嘲笑。

总结

从本文的推导和例子可以看出，虽然默认映射函数符合单射定义，但未必是双射函数。康托显然把默认映射函数与双射函数混淆了，以为只要写成默认映射函数，就一定是双射函数了，至于默认映射函数必然有的省略号里面发生了什么，他根本就不知道，也不关心。 所谓无限集合可以与其真子集一一对应，也是基于该错误而造成的。

有了附录所示的无限集合元素数目的概念，这个问题其实更简单了，容易证明两个无限集合能够一一对应的充分必要条件是两个无限集合的元素数目相等。 例如，由N1的定义可见N1永远比N多了一个元素，所以N1不可能与N建立一一对应关系。

世界其实本来很简单，庸人自扰而已。

马斯克曾经说过，这个世界就是一个草台班子。如果数学界不自我革新，迎头赶上，那就真成了让人看不起的草台班子了。

 对于第一次接触我的理论的人来说，本文(含附录)的内容都是全新的，如果他还停留在传统集合论的旧有思维模式中，可能一时难以接受，但本文的概念是清楚的，逻辑是严密的，因此任何一个习惯于严格思维的人其实都很容易理解。

附录1:由于传统的基数理论会导致矛盾。所以我们引入以下定义。

定义:对元素数目进行计数得到的结果称为元素数目。

对于有n个元素的有限集合，需要n次计数，不难验证，其结果恰等于数列{n}的第n项值，对于无限集合，计数的次数没有上界，所以元素数目为n→∞时的Lim n=∞，即元素数目为数列{n}的不正常极限(即发散)值。这里，∞这一没有上界的值是可以参与运算的，例如，由于N={1，2，3...}与A={1，3，5...，2，4，6...}是同一个集合，其元素数目必然相等，设用∞表示，则A中的奇数真子集O和偶数真子集E的元素数目分别都等于∞/2，显然，∞和∞/2都没有上界。令N与A一一对应，则与O一一对应的只能是N中元素数目为∞/2的真子集N′={1，2，3...}，显然，N′也是自然数集合。同理，如果将集合A写成{2，4，6，...，1，3，5，...}，则与E一一对应的也是集合N′。由此再次可见，自然数集合并不是唯一的（见我以前的博文），而所谓的伽利略悖论，也就不再存在了：与偶数集合一一对应的自然数集合N与能与N中偶数真子集一一对应的那个自然数集N′并不是同一个集合:N′只是N的真子集，其元素数目是N的一半。

 有了无限集合元素数目这一概念，不但伽利略悖论不再存在，集合论中的所有悖论都将被消除（见我以前的博文），充满矛盾的基数理论也完全不再需要。