无限集合能与其真子集一一对应吗？

李鸿仪Leehyb@139.com

命题0无限集合能与其真子集一一对应

这一命题是康托理论的基石。但该命题因为明显的反直觉并导致部分等于全体这一悖论而被广为诟病。笔者在以前的博文（见附录）已用数学归纳法等方法证明了这一命题是错的。本文将用反证法证明这一命题是错的。

为了叙述清楚，仍然用N1={0}UN与其真子集N之间的所谓一一对应为例。

命题1无限集合N1={0}UN与其真子集N不能一一对应，这里N={1，2，3...}

证明(反证法)令集合A=N1，则显然A与N1是完全相同的两个集合，故能一一对应，假定N1与其真子集N能一一对应，则N1也能与A中的N一一对应，N1中的元素因为已与A 中的N一一对应，已没有其他元素可以与A 中的0元素对应，这样N1与A就不能一一对应，矛盾，所以N1不能与A中的N一一对应，由于N1与A相同，故N1也不能与N1中的N一一对应。证毕

由此可见命题0不但是错误的，而且还错得很明显。

在我上一篇博文中也证明了所谓影响巨大的对角线论证是错的。

主流数学界中的明白人应该赶快清醒过来，不要再因随大流而认错误为真理，闹大笑话了。

附录

【新提醒】科学网—用数学归纳法揭示并消灭集合论中的错误 - 李鸿仪的博文

引理(证略):任何两个有限集合，其元素能够建立一一对应关系的充分必要条件是两个集合的元素数目相同。

        定理1:N1和N的元素不可能建立一一对应关系。

        证明，①N={1}时，N1={0，1}，N和N1的元素数目不同，由引理知，两者的元素无法建立一一对应关系。②假定N={1，2，3，...，k}即N1={0，1，2，3，...，k}时N和N1的元素不能建立一一对应关系，由引理知它们的元素数目不同，则N={1，2，3，...，k+1}即N1={0，1，2，3，...，k+1}的元素数目显然也不同，由引理知它们也不能建立一一对应关系，因此，由数学归纳法原理可知，无限集合N与N1的任意元素均不能建立一一对应关系。证毕

这里要注意，该证明只用到了有限集合元素数目的概念，并没有用到无限集合元素数目概念。