Zmn-1222 李鸿仪 : 命题:从自然数N到实数R的映射是双射，兼评薛问天的zmn-1217，1219

【编者按。下面是李鸿仪先生的文章，兼评薛问天先生的《Zmn-1217，1219》。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

命题:从自然数N到实数R的映射是双射，

兼评薛问天的 zmn-1217，1219

李鸿仪，leehybg@139.com

人的时间是宝贵的，我一直想顺便抽空拯救薛问天于错误的泥潭中，但是一直没有成功。就算我最后努力一次吧。

我在上一篇博文zmn1218的注解中证明了从实数R到自然数N(R→N)之间的映射是双射。

当然，也很容易反过来证明N→R之间的映射是双射。

命题:从自然数N到实数R的映射是双射。

证明 设f是自变量取值于自然数，因变量取值于[0，1)内的实数的随机函数，第一次取到的实数r1=f(1)与自然数1对应，第二次取到的另一个实数r2=f(2)与自然数2对应......(如果某一次取到的数以前已经正好取到过，这次操作就算作废，必须重新取)，这样我们就建立起了N→R的单射:∀ n1，n2∈N (n1≠n2)，➪f(n1)≠f(n2)且∀n∈N，⺕！r∈R，使得r=f(n) 。由于f是随机函数，所以不可能有一个数是永远取不到的，或者说没有一个人能找出某一个具体的小数是用随机方法永远找不到的，而任何一个用随机方法找到的实数都马上用自然数编号了，即∀r∈R，∃n∈N 使得 f(n) = r成立，这样我们就证明了从自然数到实数的上述单射也是滿射。证毕

说明：有的人可能对于随机取数有疑惑，实际上，无论是康托的对角线证明还是闭区间套证明，都是先把实数随机一一列出的。区别在于康托用随机取出来的数证明了实数不可数，而我用随机取出来的数证明了实数可数。康托的证明并不严格，以对角线论证为例，由于对角线只存在于无限大的正方形矩阵中，康托只在正方矩阵中，"螺丝壳里做道场"，″证明"了小数不能与表示小数位数的列标集一一对应，并没有证明小数不能与表示小数个数的无限大长方形矩阵里面的行标集一一对应。因此，所谓对角线论证是人类思想史上谬误最大、流毒最广的″证明"之一。详见

https://blog.sciencenet.cn/blog-755313-1460874.html

如果薛先生能看懂这个版本并承认，那他就应该知道他以前的一切都错了。如果他能实事求是地认识到自己的错误，那一切还有救。如果还是看不懂或者继续说一些错误的话，那我可能就最后放弃了。

先评论一下薛先生的以下话

"李先生所说的【我们找不到任何一个实小数是不能用随机方法取到的，所以任何一个实小数都是可以对应到某一个自然数，】前半句正确，后半句就是错误的"其理由是因为自然数可能对应于某一个实数的可数子集，然后自然数用完以后就没有自然数可以对应实数集剩下的元素了。

学术讨论是严肃的，不能建筑在可能的基础上，必须有证据或证明。你必须回答以下问题:①实数集合中当然存在很多子集，但既然取数的方法是随机的，为什么老是取同一个子集内的元素，②既然全集中任何一个元素都早晚可以被取到，而一旦取到以后马上用自然数编号，且不同的实数用不同的自然数编号，难道不就形成了一个R→N的单射？ 自然数是无限多的，怎么可能用完？你能说出到哪一个自然数，自然数就用完了吗？简直乱弹琴④即使自然数与某一个子集一一对应了，是否意味着自然数用完了？比如把N改写成{1，3，5...2，4，6...}如果另一个一模一样的自然数集合N与其中的奇数子集一一对应了，是否就意味着自然数就用完了，偶数就没法与自然数对应了？

而且，既然自然数可以通过加1不断增加，当然永远用不完：即使因为与某一无限集合一一对应似乎用完了自然数，仍然可以通过加1动态地产生新的自然数以供使用，所以实际上永远用不完。

这其实是问题的根本！

另外薛问天还有一些非常严重的习惯性错误①用没有证明过的命题来反对别人的命题，比方说他说无限能够完成，却从来没有给出过严格的证明，只说认为从哲学上我们认识的世界都是稳定的，所以集合也是不能变的。这个哲学观点能成立吗？这个稳定其实就是静止，哲学上把一切看成静止的就是形而上学，在哲学上就是反唯物辩证法的。当然讨论学术问题不宜上纲上线，那我们就讨论事实好了。世界上的事情怎么可能都稳定？不稳定，正在发展中的东西太多了，比如发展中的国家，生长发育，衰老，最终死亡的人，什么时候稳定过？静止过？

如果说存在稳定的东西，那就是时间停止的一刹那，比方说我们对一个运动的物体拍照，拍到的是静止的画面，能因此说这个东西就是静止的吗？

把根本就不靠谱甚至错误的哲学观点来作为自己数学上的根本出发点，这个学术态度实在太不严谨了！

②说出来的话经常自相矛盾，令人啼笑皆非还不自觉，比方说一边承认项数可以无限增加的自然数序列是无限的，一边又否认行数和列数都可以无限增加的矩阵是无限的。再比如一边承认自然数集合加1的过程是永远不会完成的，一边又说一旦完成了，就怎么样怎么样，请问既然永远不会完成，哪里来的一旦完成？最近这位自相矛盾大师又玩出了新花样:一边承认用随机方法，没有一个实数是取不到的，一边又说取到的数都是某一个可数子集的，也就是说该子集外的其他数都是取不到的，如此自相矛盾的思想竟然会在同一篇文章中出现，可见其大脑中早已习惯了自相矛盾的垃圾，如果每一个人都一天到晚自相矛盾，这个世界还有救吗？

③经常严重缺乏数学常识。例如薛问天在啄木鸟1217的评论9中居然说两个无理数的平均数还是无理数，把0不能做分母当作无限小量不能做分母这些缺少基本常识的话。

④经常看不懂别人说得一清二楚的证明或话，这个其实倒是可以理解，一个思维混乱，认错误为真理的人怎么可能看得懂真正的真理呢？恰如一个色盲病人，如果坚持认为自己是正确的，他就会认为别人把色彩全部搞错了。这也是我之所以要大声疾呼的原因，如果有更多的人认错误为真理，这个世界还了得？

⑤由于很多概念的定义他实际上都看不懂，数学常识又不懂，所以没有能力看懂别人的一清二楚的论述和证明，只好根据别人证明的结果与书本知识是不是一致来判断对错，凡是一致的就是对的，否则就是错的。而我恰恰就是发现书本知识有错误了才给出证明，他当然看不懂，所以他认为我的东西一律都是错的。

以双射这个概念为例，如果我要证明N到R的映射是双射，只需要证明甲:N→R存在单射。乙:N→R的单射是双射，这时不需要证明R→N有没有单射以及这个单射是不是满射，同理，如果我要证明R到N的映射是双射，只需要证明丙：:R→N存在单射，，丁:R→N的单射是双射，这时不需要证明N→R有没有单射以及这个单射是不是满射。薛问天居然连这也不懂！在我上一篇文章的注解里，我已经证明了甲乙，他居然还要我证明丁，简直令人笑掉大牙。我这里不妨把我的这2个证明再简单形象地说明一下，如果他还是看不懂，那真是没药救了！

1映射R→N

映射R→N是单射:不存在随机方法取不到的实数，且每一个取到的实数都用自然数编号了，形象地说，如果把取到的实数看作是一支箭，那么每支箭都射到自然数集这个靶了，且不同的箭射到了不同的自然数，根据单射的定义可知，R→N存在单射，

这个单射是满射:箭是无限多的，所以靶中的每一个自然数都被射到，不存在没有被射到的自然数，形象的说就是自然数集这个靶被射满了。根据满射的定义，这个单射就是满射。这里要注意，这里的满射只要求把自然数集合里面的每一个自然数都被用到就可以。至于R里的每一个实数是否都被用到，这是在单射里面已经解决了的问题。

2映射N→R

映射N→R是单射:每一个取到的实数都用自然数编号了，形象地说，如果把自然数看作是一支箭，那么每支箭都射到实数集这个靶了，且不同的箭射到了不同的实数，根据单射的定义可知，N→R存在单射，

这个单射是满射:不存在随机方法取不到的实数，而每一个取到的实数都用自然数编号了，即靶中的每一个实数都被射到，不存在没有被射到的实数，形象的说就是实数集这个靶被射满了。根据满射的定义，这个单射就是满射。

另外回答薛先生的一个带识性问题:

任何可以写成{1，2，3，...}的无限集合都是自然数集合。比如任何无限大矩阵的行标和列标都可以写成上述形式，所以都是自然数集合。而无限大长方形矩阵的行标题和列标题虽然都是自然数集合，但是并不相同，说明自然数集合不是唯一的。还有，文章中提到的长方形矩阵的列标和自然数N一一对应，行标和自然数的幂集一一对应，所以康托定理实际上也证明自然数集合不是唯一的，并没有证明实数或N的幂集不可数。

⑥薛先生的另一个特点是魄力巨大，哪怕事实放在面前，只要和他信仰的理论发生矛盾，他就会断乱否认事实，打一个比方，比方说如果我说1+1=2，但是这个结论和他的信仰的理论发生矛盾，他就会说1+1不等于2。

比方说长方形无限大小数矩阵的行标和列标明明都是自然数集合{1，2，3...}，他却可以断然说这不是自然数集合。再比如说我以前早就证明过行标集是列标集的高阶无穷大，他也说这是错的。好像读者都是傻子，毫无知识储备，也完全没有逻辑判断能力，只要他说什么就是什么了。

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就薛先生只会死记硬背生搬硬套一些书上的结论、连书上的定义都看不懂，更不要说推导证明了，就这样的水平，还自以为可以代表主流数学界发言，难道主流数学界就没人了吗？会派这么差劲的人出来？

读者不是傻子，究竟谁是谁非？明眼人会看得一清二楚。

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