Zmn-1217 薛问天: 文章的错误在于不懂数学的基本方法，评李鸿仪《1216》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生的《Zmn-1216》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

文章的错误在于不懂数学的基本方法，

评李鸿仪《1216》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

李先生文章的错误在于不懂数学和研究它的基本方法。数学概念必须严格，严格证明。可李先生的推理和【证明】靠的是他的感觉，概念不严格定义，他感觉能成就认为证明完成了。如什么叫【可数】，怎样断定【一一对应】，什么是【元素数目】的多少，什么是【分割】。这些概念完全不考虑它的严格定义，仅凭他的主观想像和他的感觉，就在这里随意乱说，就把这认为是【逻辑推理】，是【证明】，作为文章发表出来。要知道李先生这样得出的这些结论全是错误的。

1，李先生提出的【实数可数】和【无理数可数】的证明是完全错误的。可数的定义是同自然数集合一一对应，一一对应是定义为存在双射。请问李先生，你在【证明】实数可数时，提出的在自然数和实数间建立的双射在哪里？你提出的随机取数对应，根本就不是一一对应。就没有去证明，也证明不了它满足满射的条件，所以完全是错误的。康托尔早己证明实数是不可数的。

2，对于n位有穷小数的有穷集合。【自由小数位越多的小数，其数目越多。】说的完全是针对有穷集合。这是因为有穷集合的【元素数目】有明确定义。对于无穷集合的【元素数目】，在你不承认基数且尚无其它定义的情况下，怎么知道无穷集合的元素数目是什么，怎么能比较它的多少？

要知道无理数的自由小数位有无穷多，另外无理数的非循环的位数和循环节的位数虽然对每个无理数来说是确定的有穷数，但对所有无理数来说，这些位数的个数並无上界，整体也有无穷多个。你怎么知道无理数的自由小数位的位数比有理数的自由小数位的位数多，而且还得出【无理数的数目比有理数要多得多】？要知道，这一切都要根据【元素数目】的具体定义。说它【多】和【多得多】必须严格证明。事情其实並不是【这么简单】。无穷集完全有可能同它的真子集一一对应。所有有穷小数的集合是有理数的真子集，但它们却可一一对应。有理数集是实数集合的真子集，但它们却不能一一对应，这都需要严格的证明。

3，李先生说【不难证明两个有理数之间的最短距离为10-n，】这个话说得不对，应该说两个不同的有理数之间没有大于0的最短距离。因为对任意两个不同的小数，如果n是这两个小数最前面各位数值相同的位数，则肯定它们之间的距离小于10-n。显然只要使两个有理小数最前面各位数值相同的位数等于充分大的n，则可使它们之间的距离小于10-n，当n充分大时，这个数可以任意小，即小于任何大于0的ε。所以说两个不同的有理数之间没有最短距离，同理，两个不同的无理数之间也没有最短距离。

李先生接着说的【有理数之间的最短距离与无理数之间的最短距离的比值是无穷大，也就是说，填满两个有理数之间的无理数数目是无限多个。】的推理完全是错的。两个不同的有理数之间没有最短距离，两个不同的无理数之间也没有最短距离。我们可以很容易用实数的性质证明有理数和无理数的稠密性，即在任何两个确定的不同的有理数之间有无限多个无理数和无限多个有理数。以及，在任何两个不同的无理数之间也有无限多个无理数和无限多个有理数。

4，李先生错误地认为戴德金用有理数的分割来定义无理数是错误的。说什么【任何以有理分隔定义单个无理数的方法都隐含了有理数远远比无理数多这一错误假定，不能成立。】就是说李先生认为元素数目少的集合的分割不能构成元素数目更大的集合。

我己指出这又是李先生没有认识到的无穷集合的一个特性。对有穷的有序集合，它的的分割的特点是前集有最大元，並且后集有最小元。而且如果集合的个数是n，则分割个数是n-1。也就是说有穷集合的分割个数不能大于原集合的个数。但有理数这个无穷有序集合的分割则不同 。有这样的三种分割: ①前集没有最大元但后集有最小元; ②后集没有最小元但前集有最大元; ③同时前集没有最大元，后集也没有最小元。而且有理数这种分割得到的实数集合的基数(不可数)大于原无理数集合的基数(可数)。这一切都是数学中严格可证的事实。所以这又是一个李先生犯的，没有认识到无穷集合可能具有的不同于有穷集合的特性所产生的错误。

为此我们稍仔细一点做些介绍。对于有序集合(全序集合)，有几个有趣的概念。

定义1[调密性]。有序集合《A，<》，如果对任何A的两个元素a，b，且a<b，都存在有c∈A，使a<c<b，则称《A，<》是稠密的。

定义2[相邻元素]。有序集合《A，<》，如果A的元素a，b，a<b，不存在有c∈A，使a<c<b，则称A中的a和b是相邻的元素。

定义3[离散性]。有序集合《A，<》，如果A的任何元素a∈A，当存在比a大的元素时，就存在有比α大的相邻元素，当存在比a小的元素时，就存在有比α小的相邻元素，则称集合《A，<》是离散的集合。

定理1[有穷集合，自然数集合的离散性和分割特点]。任何有穷集合都是离散的集合。自然数集合也是离散的集合。而且它的分割是这样的分割: 前集有最大元而且同时后集有最小元。

证明。显然任何有穷集合A都是离散的集合。道理是有限集合有最大元和最小元。因为A的任何元素a∈A，当存在比a大的元素时，则所有比a大的元素中的最小元，就是存在的比α大的相邻元素，当存在比a小的元素时，则所有比a小的元素中的最大元，就是存在的比α小的相邻元素。所以有穷集A是离散集。

同理可证，自然数集合也是离散的集合。 不过这还要用到自然数集的另一性质，即任何由部分自然数构成的集合(包括无穷集合)，都有最小元。

当然由这些性质就容易证明，有穷集合和自然数集合的分割是这样的分割: 前集有最大元而且同时后集有最小元。在证明中还要用到一个性质，即自然数集的任何分割，前集都是有穷集。证毕。

定理2【有理数集合的稠密性】。有理数集合是稠密的。

证明。很容易证。对任何两个有理数a，b，且a<b，都存在有c=(a+b)/2。显然c是有理数，而且a<c<b。所以无理数集合是稠密的。证毕。

定理3 [稠密集的分割]。如果有序集合《A，<》是稠密的，则它的分割是这样的分割: ①前集没有最大元但后集有最小元; 或者②后集没有最小元但前集有最大元; 或者③同时前集没有最大元，后集也没有最小元。

证明。任何序集的分割只可能有这样的四种情况: ①前集没有最大元但后集有最小元; 或者②后集没有最小元但前集有最大元; 或者③同时前集没有最大元，后集也没有最小元。或者④前集有最大元，后集也有最小元。

我们证明对于稠密集合，不可能出现第④种情况，定理就得到了证明。用反证法，现在假定出现了④，即分割中前集有最大元，令它是a，后集也有最小元，令它是b。那么根据A的稠密性就存在c∈A，且a<c<b。即c不在前集中也不在后集中。从而这同分割产生矛盾，从而证明了④不可能出现，证毕。

5，李先生说有别人(黄汝广先生)，也认为【康托实数不可数与戴德金分割不相容。】尽管这个观点同李先生的观点不完全相同，李先生所说的【任何以有理分隔定义单个无理数的方法都隐含了有理数远远比无理数多这一错误假定不能成立。】说明李先生说的就是认为元素数目少的集合的分割不能构成元素数目更多的集合。只不过李先生的【元素数目】没有明确的数学定义，是凭他的主观臆想在论断而己。而黄汝广则认为【基数小的可数无穷多的集合的分割不能构成基数更大的不可数的集合】。当然根据我刚才的分析，黄汝广这个观点也是不对的。对于这个我们来做一下分析。

首先要认清离散性和稠密性的区别。有穷集合和自然数集合是离散的。因而很明显看出有穷集合的分割也是有穷的，可数无穷的离散的自然数集合的分割也是可数无穷。我们来分析为什么可数无穷多的稠密的有理数集合，它的分割却是不可数的。为什么可数的有理数能同由分割生成的不可数的无理数，稠密地交错地分布在一起。

要改变的一个很重要的错误观点，就是认为有理数和无理数的分布是一个有理数后跟着一个无理数，一个无理数后跟着一个有理数这样一个个相互相邻地又相互分割地排下来的【排排坐】方式。我们已经证明不是这样离散地分布的。这样就有相邻点達背了稠密性。无理数同有理数的实际分布，是一种无穷的相互分布，你是用有穷的方法描述不出来的。只能用无穷的方法来描述，用它满足的性质来理解和掌握。

我们来具体分析有理数的分割。我们己证明(定理2和3)，无理数的分割包括三种类型。我们先看①和②。在这两种情况下，①后集有最小元，②前集有最大元，就让这样的分割同最小元或最大元相应的有理数对应。那么任何有理数都有两个分割同它一一对应。也就是说如果有理数的基数等于α，则分割的基数起码≥2α=α，

我们知道在有理数的分割中除了同可数的有理数对应的①和②类分割外，还有大量的第③类分割，即前集没有最大元，后集没有最小元的分割。这些分割同有理数没有一一对应，而且可证由这样的可数无穷多的有理集合可以形成不可数无穷多个不同的分割。从而证明了有理数的分割的基数大于有理数的基数。根据这点就没有理由说它【不相容】。

说穿了，那种认为元素数目少的集合的分割不能构成元素数目更大的集合。就是认为在用分割的方法定义无理数时，无理数同有理数的分布却是那种【排排坐】的离散和有穷的方式。当然如果是这样来理解，把对无理数一个个单独分开，然后在分开的空隙中填上一个个的无理数，那当然空隙的数不会多于无理数的个数。问题在于事实不是这样，有理数不是有穷集，也不是离散的，而是无穷间稠密的集合。这里的【分割】不是利用离散的空隙，而是有①②③种不同的分割。而且对于那些在分割中有明确的无理数的①和②並没有空隙，填不进去无理数，只是在没有明确的最大和最小元的无理数出现的无穷的前集和后集间才可填写无理数。只有这样，用③这种分割才在可数无穷多个有理数间填写了不可数个无理数。

我们具体分析一下用有理数的分割来形成无理数的情况。可以证明有理数的分割有不可数的基数。

设有区问[0,1]将其分成10个区间，显然区间的端点都可用1位的有穷小数0.0,0.1,0.2,0.3,...,0.9进行编号。再将每个小区间分成10个更小的区间，端点都用2位的有穷小数进行编号。这样一直无穷地分下去，所有区间的端点由所有的有穷位小数编号。显然它们都是有理数。

有了以上的准备后，我们来考虑[0,1]中所有的有理数的③类分割。我们考虑在此分割下前集和后集中的端点，设an是前集端点中第一个出现的编号是前n位值最大的端点，bn是后集端点中最后一个出现的编号前n位最小的端点。这样[a1,b1]，[a2,b2]，...。就形成一个闭区间套。每个分割就都对应一个闭区间套。由于我们知道这种闭区间套本身是可数无穷个闭区间的序列，而且构成不同序列的每一项都有10个可能的选择，所以所有不同的区间套集合的基数可证是不可数的。由于分割同区间套可以一一对应，所以分割的基数也是不可数的。从而由分割构成的无理数的基数是不可数的。

6，康托尔定理证明了实数不可数，就是上述事实的严格的数学证明。李先生在文章最后否定了这个定理的对角线法的证明。显然这是严重错误。

李先生说【康托用对角线构筑了一个数b，其实只能说明实数比小数位数要多(比如说多了一个b)，由于无论实数是否可数，其个数本来就比小数位数多，所以b的存在与实数与自然数是否一一对应，风马牛不相及，一点关系都没有。】

没想到李先生竟然没有看懂这个证明。康托用对角线法抅造了一个实数b，哪里是李先生所说【只能说明实数(的个数)比小数位数要多】。证明用的是反证法，反证法假定实数可数，因而所有实数可排成一个无穷序列(1)。康托尔构造了一个实数b，证明b不在(1)中是说明存在矛盾，说明无穷序列(1)并没有包含所有实数。从而断定这个反证法的假定是错的，从而证明了实数不可数。

没想到康托尔一百多年前就证明了的定理，李先生到现在还没有看懂。实在为他羞愧汗颜。

李先生文中的错误很多，例如他说【作为"基准"的自然数集合并不是唯一的，比如说与有理数一一对应的那个自然数集合和与实数一一对应的这个自然数集合是两个不同的自然数集合。】这一切都是毫无根据的胡言乱语。集合论的外延公理已说得很清楚，元素外延相同的集合是同一个集合。那些包含所有自然数的集合，元素外延完全相同，怎么能不是同一集合而不唯一呢？根本不值一驳！

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