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波函数的性质

1.波函数的性质

①.                                               表示：在t时刻,在r点，在dτ=dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描写的粒子的几率是.

②.几率密度：

③.粒子在全空间出现的几率（归一化）：则：

④  ，描写的是同一态

2.归一化波函数

令：，则：，，为归一化条件

满足上式的波函数称为归一化波函数，使变为的常数称为称为归一化常数.

注意：①.波函数在归一化后也还不是完全确定的，还存在一个相因子的不确定.因为：.

②.不是所有的波函数都可按上述归一化条件求一化，即要求为有限（平方可积的），如果是发散的，则无意义.例如：自由粒子的波函数，

注意：波函数是时间位置的函数，即

3.群速度和相速度

相速用u表示，群速用v_g表示.相速是等相面运动的速度，群速是波包中心运动的速度.由德布罗意公式：                                            （1）

                                                          (2)

引入：，                                                   （3）

又由质能公式：                                                  （4）

（1）（2）（3）（4）四式联立得到：                 （5）

                                                       (6)

把（6）式代入（5）得到相速与群速的乘积等于光速的平方：即    （7）

又由相速的定义：                            （8）

我们同样得到（7）式：

下面由相对论质能公式进行验证：                 （9）

由相速定义：                           （10）

由群速定义：  （11）

由（10）乘（11）式同样得到（7）式：

因此（3）式的引入是正确的.

又由自由粒子德布罗意波可以验证以上公式：                     （12）

（13）（12）式乘（13）式同样得到（7）式：即

所以对自由粒子上式可以写成：（自由粒子，）得证