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第40讲：数学寻根——完备数学至终极大自然
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说明：
本文是在杨玉龙博士帮助下于年初完成的，近期被《科学通报》退稿，估计是既非数学亦非物理且非哲学吧，但也是它们的综合“数理思辨，合情推理”（在“终极”层次只能是这样啊），现推荐给学界审视，原文转录于此，寻觅知音。
摘要
猜测久攻不破的数学寻根问题不可能纯数学完成，因此另辟蹊径（几十年内）先后提出了系统学二象论、空间层次论、逻辑本原论、广义能量论等“四论”，思辨性得出“无理数集”中无逻辑，从而能一并回答“实轴结构之谜”等所有涉及“无穷”本质的谜题，进而沟通数理获得“超空间”概念及“终极大自然观”。
关键词：实轴的空间层次结构 完备逻辑空间 完备数学 超空间 终极大自然
悉知，自上世纪初康托尔集合论揭示并掀起了数学寻根热以来，在（当时刚建成的）数理逻辑学激励下迅速形成了逻辑主义、直觉主义、形式主义三大流派和公理集合论、逻辑论、递归论、模型论、证明论、非标准分析等6个分支学科戮力攻关但至今未捷。
笔者在力求全面理解数学[1-2]之中（受“数理的最高境界是哲学”启发）意识到数学寻根不可能纯数学完成，遂从思想上致力于合情推理数理思辨解决。在先后提出的上述“四论”视野下，针对“实轴结构之谜”的破解逐步进展，终获“猜测”：无理数集之中“无逻辑”，从而可彻底回答涉及“无理数集”本质的所有谜题，并在揭示（数、理）间“二象”对应关系基础上进一步获得“超空间”概念和“终极大自然”概貌，显然其意义是全方位的[4]。
总之，本论是在康托尔集合论引领下凭借“四论”，透识到了（以三维实数集为“基底”的）完备数学、完备逻辑及其完备客观世界。
本论至少是就“大科学”唯一的终极问题，首次给出了一套可供讨论的理论框架。
兹将相关零散思想汇总缩略陈述于此。
一 、康托尔集合论相关成果简顾
提出可数集/势；不可数集/势。
连续统猜测：可数势到不可数势不存在过渡势。
该猜测等价于（更为直观的）实轴结构之谜（任破其一即可），现以破解后者为目标，从而所有涉及无理数集本质的谜题全得破解。
二、实轴的空间层次结构（定性思维）
2.1 系统学二象论[5-6]
（1）系统：一组元素为着共同目标发生关系的总体叫做系统空间简称系统，记为“三元式”
系统 =（元素；目标；关系）=（集合；公理、运作）
其中“集合”亦叫该系统空间的“基本空间”。
（2）二象系统：任何系统皆可作虚实“二象”结构划分，系统=（虚空间，实空间）=（虚象，实象），从“二象”角度研究系统，叫做二象系统。
系统的“二象”划分可有多种（如系统“三元式”中“元素”即为其实象，另两元为虚象）。特别以“属性”为虚象的系统（=（属性，实本））叫做典型二象系统。
（3）“二象”性质（典型二象系统）：
“虚实”性。二象间不存在1-1关系；虚象对实象“充满而不占据”（借鉴于物理学描述电磁场对物质空间的关系）；如数学中自变量与参变量、线性空间与其对偶空间、张量中逆变与协变因子乃至复数虚实部等等都是“虚实”关系（物理世界同样普遍，免例）。
同时，还具备如下性质：
“互动”性。一象改变会内在地产生另一象改变。
“对偶”性。二象间存在“既对立又统一”（权重）关系。
（4）把典型二象系统中“二象空间”的差异称为空间层次差异（如具有空间层次差异的空间之间不存在算数关系，只存在抽象映射或无穷级数关系等）。
2.2 实轴的二象空间及其层次关系
实轴=实数集=有理数集+无理数集=一维连续统=一维几何空间
（1）实轴具二象结构：实轴=（实，虚）=（有理数集，无理数集）。
首先，据系统概念的广泛性知实轴是个系统，再据“2.1（2）”实轴结构是（虚实）二象结构。
（2）实轴二象的空间结构：沿用系统空间概念“三元式”可有
实轴的实象对应的空间：有理空间=（有理数集；四则；运算），（AI空间为其子空间）。
数学空间=（有理数集；{公理}；{演绎}），（{*}为集合符号，续见“3.2”注）。
实轴的虚象对应的空间：无理空间=（无理数集；0？；0？），待见“5.3”。
（3）二象空间层次性：
命题1：推广“二象”性质可得，若两个系统的元素集（基本空间）之间存在“虚实”关系，则两个系统空间具空间层次差异。
实际上将这样的两个系统做成一个新系统时，新系统正好是个（以二者为虚实象的）“二象”系统（即为二象结构），因此是个空间层次差异。
应用1（问）：客观的一切现象似乎都发生在此生活的同一空间内，是吗？
答“否”，关键在于明确空间概念，如“2.1(1)”，由此再据“命题1”即得知空间层次概念，问题便清晰了。
比如，据“命题1”生活中感知的空间至少可谓“物质空间+场空间”，因为“物质空间”的元素集（“分子”集）与“场空间”的元素集（“量子”集）是虚实关系，是个典型的空间层次结构。
显然，“空间层次结构”的揭示是利于科学深入的。
应用2（问题）：据“命题1”实轴二象空间的基本空间（有理数集，无理数集）之间是“虚实”关系，但作为二象空间的“空间层次”检验则有狐疑了，问题归结为需要对“无理空间”结构特征做出进一步探讨？待见“5.3”。
三、逻辑本原论（定性认识）
逻辑学经两千多年来的多次递升已十分全面繁复了，仅其基础学科亦可归为（依次涵盖的）数理逻辑—形式逻辑—辩证逻辑。
那么，是否还有超逻辑？为此，需要从逻辑是什么等回答起。
3.1 逻辑是什么（来自哪里）？
经长期酝酿得出（猜测）：具“时序、因果”推理过程本质的“逻辑”来自宇宙空间（物理世界）的属性（=结构属性+运动属性），典型的是运动属性[7]（生物（包括人类）是在逻辑环境下进化成的，其思维即逻辑的反映；据狭义相对论逻辑还直接与运动速度攸关）。
3.2 逻辑空间及其性质
定义（逻辑空间）：把逻辑的“时序”推理过程叫做“轨线”；则把一切逻辑轨线及其交点集总体叫做逻辑空间，记为L=（节点族，连线族）。（逻辑空间的“基本维度”是宇宙空间的维度（1至3维），其它维度概念属逻辑空间中逻辑推理。）
性质1 L有界且是开空间
由于逻辑空间囿于（宇宙的）属性空间，据宇宙空间的有界性和“开”性（非“闭”性，据“相对论”），则L必有界且“开”。
性质2 逻辑空间的基本元素（基元）是几何点，其总体对应于（相应维度）有理数集。
从而可有“三元式”：逻辑空间=（有理数集，{约束}，{关系}）
注：
当“{约束}” 中“约束”取作“四则”时即有理空间；当取作十则及其它（包括多层次的约束等）或即“{公理}”，则对应于数学空间。
问，逻辑空间与无理数集有无关系？什么关系？续下。
四、实数集上的数学空间
4.1 命题：本质上数学空间（简称数学）是建立在有理数集上的（包括其上的运算、抽象、映射及其拓展等；反之，现代计算方法表明数学皆可“投射”到有理数集上）。
4.2 命题：无理数集可谓数学的“背景”（鉴于实数中没有无理数的精确位置；无理数集只是保证数学完备性的或容纳发散的；数学对无理数的处理是以近似或符号化参与运作（仍在有理空间内）等等）。
但是，实轴结构之谜表明，无理数集并非“无理”，那么“理”在哪里？
4.3 猜测：无理数集内无逻辑（依据是，“非标准分析”中空心“单子”皆无逻辑；无理数集“不可数”本质在于其中没有（逻辑最基本的）“点”概念；无理数集内不存在运算定律和无理数判定公式，等等）。
4.4 此外，无理数集还对“几何”中基本的“度量”（度规）和“分析”中基本的“微分”概念等，起到了基本作用（表明无理数集存在深刻本质）。
五、数学空间完备性（定性认识）
5.1 结论：据康托尔的无理数集“不可数”和上述“4.3”“4.4”，则“实轴结构之谜”得解。
从而数学“寻根”得以思辨性完成，并且（已谈及）数学谜题全部获得解释（免赘）。
进一步，据拓扑空间的完备性概念则有
5.2 推论：数学寻根的“完成”等价于（即同时得到）逻辑空间的“完备”、数学空间的“完备”（即在“逻辑”意义下无理数集仅相当于一个点（拓扑极“点”），因此纯数学“寻根”难）。
5.3 鉴于“无理数集”无逻辑，加上它最具抽象性、最具涵盖性，因此
（1）它既是“无理数集”也是“无理空间”；
（2）它形式上只是数学的背景，本质上却是数学的“根”（且据“康猜”从可数到不可数是跳跃的，再现了纯数学“寻根”之难）。
六、物理世界完备性（定性认识）
6.1 准备：广义能量论
客观世界一切皆系一个统一的“广义能量”（简称能量）的表现形式[7]，即能量=客观世界。
其显著特征一是各种能量形式间（在适当条件下）可相互作（能量不灭）转换；二是能量以“动”为存在形式，即“动”具绝对性（能量是其速度的函数）。
能量可归为物质能、场能、信息能及 “超能”（续下）；能量（表现出的）“频率”充满正实轴（0+∞对应于超能）；物质能+场能=物理能=宇宙能（参见第38讲）。
6.2 关于完备性
（1）（数学，宇宙）属二象关系（因数学空间等价于逻辑空间，而逻辑空间与宇宙空间是二象关系）。
（2）据“6.1”有（逻辑空间，物理世界）=（属性空间，物理能）。
（3）据“5.2”有完备数学空间=完备逻辑空间。
那么（问）：存在完备物理空间吗？
据“6.1”，只须赋予（保证逻辑空间完备的）无理空间以能量“超能”即可，亦即有
6.3 超空间猜测：存在对应于无理空间的抽象的能量空间，叫做“超空间”（=超能）[7]
超空间保证了物理世界完备性；超空间是整个客观世界的根基；超空间是生命世界的保证因素[7]；超空间是“暗物质”、充满而不占据宇宙空间、是宇宙之母；
物理世界前沿与超空间的“接壤”域“临界空间”具非典型逻辑；临界空间是数、理皆难的前沿领域；物理学中的“测/量不准”是因其精准点（概率1的）在超空间中，等等。
注：“超空间”有待物理学正式承认，一旦如此将迎来一股清风，难在它太抽象难验证。七、归纳（参照图1）
由空间层次论、二象论、逻辑本原论获知，逻辑是宇宙空间（物理世界）的虚象“属性”；逻辑的基元是几何点（其集合是有理数集）；有理数集是实数（连续统）的实象、是逻辑的“投射”域；逻辑的典型表现是数学，数学是建立在有理数集上的。
终于探知数学的“根”就是没有逻辑的（相当于一个逻辑 “点”（拓扑极点）的）无理数集。
再据能量论知，终极大自然=客观世界=能量=超空间+宇宙空间=超能+物理能=完备物理空间；“析去”能量后即是抽象的三维几何空间（=三维实数集=三维（有理数集+无理数集））。
其中三维“有理数集”（作为基底）对应于宇宙的属性空间（=逻辑空间=数学空间）；三维“无理数集”（=无理空间）赋予“超能”后对应于没有逻辑的“超空间”。
属性空间+无理空间=完备数学空间=完备逻辑空间。
图1 “终极大自然”解析图
总之，从最高（最抽象）层次看去，此刻的终极客观世界莫非就是赋予三维“实数集”以 “能量”后的（活跃着的永远守恒的）现实。
窥视“终极大自然”一直是人类的夙愿，现在就在眼前。
参考文献1 高隆昌. 数学及其认识. 北京: 高等教育出版社-斯普林格出版社, 2001
2 高隆昌. 大自然复杂性原理. 北京: 科学出版社, 2004
3 高隆昌, 陈绍坤. 上帝略影：大自然本原方法论, 系统学及其应用. 香港: 中国国际文化出版社, 2016
4 高隆昌, 程柿樵. 终极大自然观. 北京：科学网，2023
5 高隆昌. 系统学原理（第二版）. 北京: 科学出版社, 2010-10
6 高隆昌, 徐飞, 陈绍坤. 系统学二象论: 理论与方法. 北京: 科学出版社, 2014
7 Gao L C, Xu F, Yang Y L. ∞: A Brief History and Mystery Solving (Kindle Edition). Miami:
Jade Dragon Publishing House, 2024.
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