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[随笔，讨论] 物理学理论，可以具有严密的内在逻辑性吗？

已有 1397 次阅读 2024-9-19 22:41 |个人分类:基础数学-逻辑-物理|系统分类:科研笔记

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[随笔，讨论] 物理学理论，可以具有严密的内在逻辑性吗？

函数： function

逻辑： logic

数学基础： foundations of mathematics

近场： near field

微波网络： microwave network

论点：

物理学理论，只能具有部分的内在逻辑严密性。

一、什么是物理学理论？

（1）能用显式函数表示出；

（2）能用隐式函数表示出；

（3）能用“数学表达式”表示出；

（4）能用“连续曲线的简单变化”表示出；

（5）能用“连续曲线的幂集”表示出；

（6）能用“‘连续曲线的幂集’的幂集”表示出；

……

二、柯西：函数不一定要有解析表达式

根据胡作玄老师的《第三次数学危机》：

波尔查诺不承认无穷小数和无穷大数的存在，而且给出了连续性的正确定义。柯西在1821年的《代数分析教程》中从定义变量开始，认识到函数不一定要有解析表达式。他抓住了极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，并定义了导数和积分；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；狄里克莱给出了函数的现代定义。

同时，威尔斯特拉斯给出一个处处不可微的连续函数的例子。这个发现以及后来许多病态函数的例子，充分说明了直观及几何的思考不可靠，而必须诉诸严格的概念及推理。由此，第二次数学危机使数学更深入地探讨数学分析的基础——实数论的问题。这不仅导致集合论的诞生，并且由此把数学分析的无矛盾性问题归结为实数论的无矛盾性问题，而这正是二十世纪数学基础中的首要问题。

数学自身的严密性，还没有完全解决。

比“解析表达式”更复杂的物理相互作用，怎么用数学表示出？

例如：

（1）《中国大百科全书》里词条微波网络/microwave network

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=103739&Type=bkzyb&SubID=80513

简单网络的参量可以根据电路定理直接计算；含有不连续性的复杂网络须根据电磁场边值问题的数学模型，利用数值解法计算；对于含有源器件的网络或十分复杂的微波网络（见图），需要借助微波网络分析仪或六端口反射计等专用仪器测定其网络参量。

图1 《中国大百科全书》，微波网络示意图.jpg

图1 《中国大百科全书》，微波网络示意图

（2）《中国大百科全书》里词条近场/near field

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=156841&Type=bkzyb&SubID=95653

近场的存在区域一般在电磁场一个波长的范围附近，这一部分电磁场的能量不向远处传播，只在辐射源和其表面附近的空间来回流动，呈现出准静态的特征。近场电磁波的径向分量不等于零，电磁场的空间变化不存在一个简单的一般关系，必须由辐射体上振荡电流的具体分布决定，需要精确求解矢量麦克斯韦方程才能确定。

推荐阅读：

[1] 威廉·伊恩·比德莫尔·贝弗里奇（William Ian Beardmore Beveridge），《科学研究的艺术 The art of scientific investigation》，1957.

第 153 页（科学出版社，1979）

牛顿：没有大胆的猜测就作不出伟大的发现。

休厄尔（William Whewell）：若无某种大胆放肆的猜测，一般是作不出知识的进展的。

高斯：我有了结果，但还不知道该怎样去得到它。

参考资料：

[1] 2023-02-25，函数/function/李忠，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=111680&Type=bkzyb&SubID=99583

一个变量与另外一个或几个变量的一种确定的依赖关系。数学的基础概念之一。

[2] 2024-05-30，代数函数/algebraic function/何育赞、沈燮昌，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=110154&Type=bkzyb&SubID=99584

由不可约方程：

P(z,w) = a_n(z)wⁿ + a_n_-1(z)w^n-1 + … + a₀(z) = 0 (1)

确定的多值函数，式中 a_j(z) (j=0,1,…,n)为的多项式。

代数函数论还沿着算术的方向和几何的方向发展，后者是用几何方法研究代数曲线，并发展为代数几何。

[3] 2023-03-16，特殊函数/special function/莫叶、沈燮昌，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=112852&Type=bkzyb&SubID=99584

[4] 2022-12-23，初等函数/elementary function/沈燮昌、何育赞，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=109953&Type=bkzyb&SubID=99583

包括代数函数和超越函数。基本初等函数是实变量或复变量的指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数经过有限次四则运算及有限次复合后所构成的函数类。这是分析学中最常见的函数，在研究函数的一般理论中起着很重要的作用。

[5] 2022-01-20，解析函数/analytic function/任福尧、何成奇、刘劲松，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=157471&Type=bkzyb&SubID=99584

能展开成幂级数的函数。

它是复变函数研究的主要对象。

[6] 2023-08-22，数学基础/foundations of mathematics/，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=456822&Type=bkzyb&SubID=137849

整个数学大厦的基础。数学追求严密性，被认为是知识的典范。数学命题需要被证明才能成立，而这又要求数学概念被严格定义。用于证明的最终前提，与无法再被定义的基本概念即构成数学的基础。

20世纪初数学基础研究的结果，是数学家们在实践中接受了公理化的集合论作为经典数学的基础。集合论悖论的产生，看似是由于对于集合概念未加以限制，人们希望通过引入集合论公理，既排除引发悖论的集合的存在性，又保障这一理论强到足以作为分析的基础。E.F.F.策梅洛、A.A.弗伦克尔Adolf Abraham Fraenkel）等人发展出的ZFC（策梅洛-弗伦克尔-选择公理）公理集合论，是今天通行的公理集合论。ZFC公理集合论是万有理论，能够推导出经典数学的所有理论。但是，公理集合论无法被证明是一致的，人们只是在事实上迄今为止未在其中发现悖论（矛盾）；并且，其中的选择公理的地位一直为人所质疑。虽然数学仍未建立在严格的基础之上，但20世纪30、40年代后，大部分数学家已不再关心数学基础的问题。

[7] 2022-01-20，逻辑/logic/周礼全、诸葛殷同撰，杜国平修订，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=89210&Type=bkzyb&SubID=52011

研究推理有效性的学问。

作为研究如何区分正确推理和不正确推理的方法和原理的学问，逻辑长期被当作规范正确思维的科学，获得知识的工具。逻辑一般从推理形式的角度来研究推理的有效性问题。

逻辑不仅研究个别的推理形式，而且研究推理形式之间的关系和关于推理形式的系统理论的性质。亚里士多德曾用公理化方法研究三段论，现代逻辑则应用更严密的形式化方法研究推理形式。并且，公理化方法、形式化方法本身也已成为逻辑研究的对象。

逻辑与数学有着深刻的、本质的联系。古希腊数学成就是坚持应用演绎推理而获得的，而亚里士多德关于逻辑的成就则是运用数学的公理方法的结果。推理演算化的要求促进了逻辑的现代化，而分析严格化的要求则导致现代数学基础研究的开展。现代逻辑与现代数学是互相促进、互相渗透的。

现代逻辑在计算机科学中有着广泛的应用，电子计算机是数理逻辑与其他学科和生产技术发展的综合成果。各种应用逻辑也是人工智能研究的基础理论问题和中心问题之一。

逻辑与语言学的对象不同。推理形式具有全人类性，而语言具有民族性。然而思维与语言的密切关系决定了逻辑与语言学的密切关系。逻辑只能通过语言才能从思维中抽象并研究推理形式。数理逻辑创制了形式语言，而形式语言的使用又刺激了对语言的更深入的研究。

[8] 2022-01-20，近场/near field/汪力，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=156841&Type=bkzyb&SubID=95653

近场电磁波的径向分量不等于零，电磁场的空间变化不存在一个简单的一般关系，必须由辐射体上振荡电流的具体分布决定，需要精确求解矢量麦克斯韦方程才能确定。

[9] 2022-12-23，连续系统/continuous system/王广雄撰、肖兵修订，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=322027&Type=bkzyb&SubID=167911

所有变量在时间和空间上都连续变化的系统。又称连续时间系统（continuous-time system）。

[10] 2022-01-20，连续系统/continuous system/杨克巍，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=268850&Type=bkzyb&SubID=152660

系统状态变量随时间连续变化的系统。那些状态变量随着时间变量呈连续变化的模拟，称为连续模拟。连续系统模拟的重要内容之一。

连续系统包括集中参数系统和分布参数系统，常微分方程通常用来描述集中参数系统，主要表现为以时间为参数为自变量的系统，这类系统如各种电路、动力学及种群生态系统。偏微分方程通常用来描述分布参数系统，主要表现为具有多个自变量的系统，这类系统如物理中的场问题、流体系统和工程中的对流扩散系统等。

[11] 2022-01-20，第三次数学危机/the third mathematical crisis/刘叶涛，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=204999&Type=bkzyb&SubID=101959

集合论的一致性就成了整个数学一致性的基础。

围绕如何解决此次数学危机，当时数理逻辑和数学哲学领域出现了三大学派，以罗素为代表的逻辑主义学派、以L.E.J.布劳威尔为代表的直觉主义学派、以希尔伯特为代表的希尔伯特学派。公理集合论方案如策梅洛-弗兰克尔公理集合论、冯·诺伊曼-贝尔纳斯-哥德尔公理集合论，罗素的类型论以及W.V.O.蒯因的改进型数理逻辑系统，直觉主义、多值逻辑等非经典逻辑方案，希尔伯特发展出的元数学、证明论等，都是试图解决集合论悖论、化解危机的具体方案，都是由第三次数学危机所催生的重要成果。

[12] 杨正瓴，林孔元. 人类智能模拟的“第2类数学(智能数学)”方法的哲学研究[J]. 哲学研究, 1999, (4): 44-50,共7页.

请去《国家哲学社会科学文献中心》里查找

https://www.ncpssd.cn/journal/index

[13] K. Kuratowski, A. Mostowski. Set theory: with an introduction to descriptive set theory [M]. North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 1976.

https://www.sciencedirect.com/bookseries/studies-in-logic-and-the-foundations-of-mathematics/vol/86

[14] 科普中国，2021-12-31，合情推理

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=367183

贯彻任何科学发现的思维，也主要是合情推理；量子力学方程是猜出来的；球体公式是阿基米德"称"出来的；在对热在金属中流动的观察研究中，傅立叶发明了级数；而现代仿生学则是类比推理在科技中应用的杰出成果。由上可以看出，"我们所学到的关于世界的任何新的东西都包含着推理，它是我们日常事务中所关心的仅有的一种推理"。合情推理是各学科之间，社会生活中的文化大使，是现代化社会公民的必备文化素质。

[15] 2022-01-20，完全归纳推理/complete inductive inference/张晓芒，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=118651&Type=bkzyb&SubID=104156

归纳推理的极限形式。又称完全归纳法。

完全归纳推理由前提到结论之间是一种必然性推理，所以现代逻辑学认为完全归纳推理不属于归纳推理范围，属于演绎推理的范围，是演绎推理的逆向归纳法。

相关链接：

[1] 2024-08-20，[笔记，逻辑，推理] 合情推理：猜测、实验、归纳、类比、联想、检测、……

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1447449.html

[2] 2024-05-19，[羡慕，讨论，物理] 仅推公式就能得到成果的人

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1434748.html

[3] 2024-06-18，[汇报，讨论] 傻，你为什么不亲自研制“半电路、半电磁场”电路？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1438747.html

[4] 2024-06-25，[请教，讨论，笔记] 柯西：函数不一定要有解析表达式。（关联：分布参数系统 distributed parameter system）