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量子力学的隐变量解释

1935年5月在Physical Review上爱因斯坦和他的两位同事B.Podolsky和N.Rosen共同发表了一篇名为 (量子力学对物理世界的描述是完备的吗?)三个人异口同声地回答:「不!」.在这篇著名的文章中，作者首先阐述了他们对物理理论的看法：一个严谨的物理理论应该要区别「客观实体」(objectreality)以及这个理论运作的观点．客观实体应独立于理论而存在．在判断一个理论是否成功时，我们会问自己两个问题：(1)这个理论是否正确?(2)理论的描述是否完备?只有当这两个问题的答案是肯定时，这样的理论才是令人满意的．理论的正确性当由实验来决定．而关于量子力学的描述是否完备则是这篇文章探讨的主题．在进一步讨论理论的完备性之前，我们必须先定义什么是完备性．作者们提出了一项判别完备性的条件：每一个物理实体的要素必须在理论中有一对应物(everyelementofthephysicalrealitymusthaveacounterpartinthephysicaltheory)因此我们决定了什么是「物理实体的要素」，那么第二个问题就容易回答了．那么，究竟什么是「物理实体的要素」呢?作者们以为:「如果，在不以任何方式干扰系统的情况下，我们能准确地预测(即机率为一)某一物理量的值，那么必定存在一个物理实体的要素与这个物理量对应．」他们认为，只要不把这个准则视为一必要条件，而看成是一充分的条件，那么这个判别准则同样适用于古典物理以及量子力学中对实在的概念．举例来说，在一维系统中，一个以波函数φ(x)=exp(ip₀x/2πh)(其中p₀是一常数，i表纯虚数，h为Planck常数)描述的粒子．其动量的算符为hd，p=----------，2(Pi)idx，因此：pFI(x)=p0FI(x)，所以动量有一确定的值p₀.因此在这种情形下动量是一物理实体．反之，对位置算符q而言，qFI=xFI≠aFI，因此粒子的位置并没有一确定的值．它是不可预测的，仅能以实验测定之．然而任何一实验的测定都将干扰到粒子而改变其状态，被测后的粒子将再也不具动量p₀了．对于此情况，我们说当一粒子的动量确定时，它的位置并非一物理实体．一般来说在量子力学中，对两个不可对易的可观察量(observable)而言，知道其中一个物理量的准确知识将排除对另外一个的准确知识.任何企图决定后者的实验都将改变系统的状态而破坏了对前者的知识．至此，作者们发现我们面临了如下的两难局面：(1)或者，在量子力学中波函数对物理实在的描述是不完备的．(2)或者，两个对应于不可对易算符的物理量不能同时是实在的(即具有确定的值)．因为，若两个不可对易的物理量同时具有确定的值，根据作者们对完备性的条件，在波函数的描述中应包含这些值．但事实上并非如此，因此波函数的描述是不完备的．在量子力学中，通常假设了波函数包含了描述物理系统一切完备的资讯．乍看之下，这样的假设似乎很合理．然而，爱因斯坦等人指出，在这个假设之下，配合他们对物理实体的判别准则，将导出(2)也是错的．因此这是一个矛盾．这就是著名的EPR悖论(EPRparadox或EPRdilemma)．

爱因斯坦等设计了一个理想实验来证实他们的观点．假设现在有两个粒子在t=0到t=T的时间之内相互作用，但在t>T之后分开，不再有任何交互作用．根据Schrodinger方程式，我们仍然可以算出以后任何时刻两个粒子的状态．现在，注意到两个粒子动量和算符p₁+p₂及位置差算符x₁-x₂是可对易的．因此可以同时具有确定的值，即有共同的本征态(eigenstate)．例如FI(x₁，x₂)=D(x₁-x₂-a)，D是Dirac的delta函数．这代表了动量和为零以及位置差为a的本徵态．现在假如我们去测量粒子1的位置，而得到结果x₁，那么，我们可以同时地肯定粒子2的位置必定是x₁-a.换言之，在不扰动粒子2的情形之下我们便可确定粒子2的位置．因此，根据EPR的判别准则，粒子2的位置是实在的．同样的，若是我们去测量粒子1的动量而得到结果p，我们也能肯定粒子2具有动量-p.因此粒子2的动量也是实在的．由于两个粒子已经足够地分开，而没有任何交互作用，粒子2不可能知道我们究竟要测量粒子1的位置还是动量，从而「决定」它要在位置x₁-a或具有动量-p，这两个量必定是同时存在的(即使我们不能同时去量它们)．换言之，就是违反了前面(2)的条件．

在假设(1)错的情形之下，爱因斯坦等推出了(2)也是错的结论，而这是不可能的．因此(1)一定是对的．所以爱因斯坦等大胆的宣布，量子力学的描述必是不完备的．在获得了这样的结论之后，爱因斯坦等同时期待了一个新而完备的理论将会出现．

纵观爱因斯坦的论证，我们发现他们的推论中隐含了两项假设：(1)物理实在是独立于观测者而客观地存在的．(2)两粒子间传递讯息的速度不能超过光速，不存在超距作用(action-at-a-distance)．这项假设后来被称为爱因斯坦定域性原理(localityprinciple)．

同年十月，Bohr也在PhysicalReview上发表了一篇同名的论文，反驳爱因斯坦等人的观点．Bohr首先批评了EPR对物理实体的判别准则．Bohr以为一个物理量只有在当它被测量之后才是实在的．在EPR的理想实验中，虽然我们对粒子的测量的确会得到预期的结果，然而只有在我们安排此一实验测量之后，该物理量(位置或动量)才是实在的．所以EPR的判别准则是有问题的．其次Bohr分析了EPR的理想实验，认为两个粒子在分开之后，仍然存在着某种关联性．因此在对粒子1做测量时，仍应视为对整个系统的扰动．换言之，Bohr并不赞同爱因斯坦的定域性原理．量子力学是一个和谐的数学形式体系．它的预测与微观领域的实验结果都符合得很好．既然一个物理理论的预测都能够被实验所证实，而且实验又不能得出比理论更多的东西，那么，我们还有什么理由对这个理论提出更高的「完备性」要求呢?量子力学确实描述了微观客体对巨观仪器的度量表现，这种巨观度量只能得出微观客体运动的统计结果．量子力学也只能透过这些巨观表现去猜测微观客体的某些属性，它确实反映了以作用量子为下限的客体之运动状况．因此，从它自身逻辑的相容性与和经验符合的程度来看，Bohr认为，量子力学是完备的．

提出隐参量解释的观点的主要是玻姆．这种观点认为，量子力学只给微观客体以统计性的描述是不完备的，需要引入一些新的附加参量，以便对微观客体作进一步深入的描述，这些新参量称做隐参量．玻姆把粒子看作是“客观实在的”结构，就象牛顿力学中的质点一样．位形空间中的波在他的解释中也是“客观实在的”，就象电场一样．位形空间是牵涉到属于系统的全部粒子的不同坐标的一个多维空间．玻姆又进一步规定恒波相面的法线是粒子的可能轨道．按照他的想法，这些法线中哪一条是“实在的”轨道取决于系统和测量仪器的历史，并且如果对系统与测量仪器的了解不比实际上能了解的更多的话，“实在的”轨道就无法确定．这种历史实际上包含了隐参量，它就是实验开始以前的“实际”轨道．玻姆所主张的隐参量解释，企图通过引入一些新的附加量——隐参量来对量子力学作进一步的深入描述，从而弥补现有量子体系的不完备性，与此同时，该派还不满意概率表示和非因果性描述，试图对微观客体作出决定论性的因果描述．到今天，虽然还未从实验上验证隐参量是否真正存在，但就其理论本身在当时科学界产生了强烈反响，得到了许多科学家的赞同．

为了对EPR论证进行实验研究，玻姆在50年代首先把EPR理想实验变成测量质子自旋和测量光子偏振关联的方案.这类实验早先由吴健雄等人做过，结果与量子力学的预言相符.

综合上面三种经典或半经典解释，很明显，各派都力图从经典理论中找出量子力学的完备解释，他们把经典理论中的一些概念与量子力学联系起来，通过其中的一些相似性，试图建立一条他们认为能够真正解释量子力学的新途径.

玻姆的量子势诠释是量子力学决定论诠释中影响较大的一派.玻姆一方面接受了爱因斯坦关于量子力学对物理实在描述不完备的观点，把探索对物理实在更精细的描述定为研究目标；另一方面采纳了玻尔关于量子现象的整体性观点，强调微观粒子对于宏观环境的全域相关性，以协调同量子力学正统理论的矛盾.玻姆的作法避开了冯·诺意曼论证的制约，只按经典哈密顿——雅可比理论的要求，将薛定谔方程变形并赋义，便顺利地提出了关于单粒子系统的量子力学因果解释.

首先玻姆把单粒子系统的波函数写成指数形式： （ 1）

式中R(r，t)、S(r，t)为实值函数.将（ 1）代入薛定谔方程：（ 2）方程中m为粒子质量，U为经典势，并分离变量即可得到哈密顿——雅可比方程

(3)

和位形空间中粒子几率密度ρ=R2的平衡方程         （4）

（10.３）式中的Q是                            (5)

玻姆称之为量子势.玻姆认为（10.3）和（10.4）两式启示人们：在微观领域，微观粒子具有实在论意义.即理论中的粒子应视为实实在在的连续运动着的粒子，它具有动量，不仅受经典势U的作用，还受到量子势Q的作用.玻姆认为，量子势的存在是经典理论与量子理论之间差别的主要原由.量子势与薛定谔波函数ψ有关，任何具体情形，都由薛定谔方程的实际解确定.方程（10.3）使粒子具有连续径迹运动行为，而方程（10.4）又使粒子在量子力学中的统计预示成为可能.玻姆指出，量子势因果解释中，波函数有双重意义：第一，它表征常规意义中的玻恩几率波函数；第二，它确定非定域作用在粒子上的量子势.波函数表征与经典场有本质区别的实在常后来玻姆称这种场为量子信息场.

玻姆理论的关键是他的量子势，而量子势仅依赖于形式

因此，即使这个波由于大距离传播而扩散开来|ψ|2=R2→0

量子势也可能仍有很强的效应，即

例如当波通过双缝时，其干涉图样会产生一个复杂的量子势，它可以对远离双缝的粒子施加影响，使粒子在屏上的分布遵从几率密度方程.有人对玻姆量子势理论进行计算机模拟，不仅双缝实验，而且在ＡＢ效应、势垒穿透和势阱散射等情形中，理论与实验都有很好的吻合.玻姆的量子势理论在多粒子系统中亦有很好的应用，只是此时量子势

                                   （6）

式中R(r₁，r₂……r_N，t)为N粒子系统波函数ψ(r₁，r₂……r_N，t)的实幅部分

玻姆的量子势诠释是决定论诠释派系中影响较大的分支.玻姆认为他的量子力学哈密顿—雅可比方程，通过经典势U和量子势Q确定了粒子在经典概念下的连续径迹运动，位形空间中的几率密度平衡方程使得量子力学的统计预示成为可能.在玻姆的理论中，作为质点的粒子，其运动具有经典的轨迹，并由其哈密顿——雅可比方程描述，但对于一个具体的粒子，它走哪一条通道却是随机的，每个通道中粒子密度的变化宏观上遵从几率密度平衡方程的描述.玻姆的量子势诠释取得了很大的成功，几乎所有的量子力学实验它都可以合理解释，但是由于量子势来源不清，也没有量子势依托的哲学基础，更由于爱因斯坦认为他复活了以太假说，尽管玻姆本人认为量子势可解释为原子内的自组织力，但玻姆的量子势诠释还是被冷落在正统诠释之外.洪定国教授认为这一现状，近年来有比较明显的改观.更深入的分析，波函数与量子势之间似乎还有循环论证之嫌.因为量子势由波函数的具体形式决定，而波函数又由包含量子势的运动方程的解决定，这就是一种逻辑循环论证.玻姆的量子势概念的缺陷是物理意义不明确，也缺少相应的哲学背景，并有循环论证和引进以太之嫌.

如果把玻姆波函数的形式

理解为曲率解释中的曲率函数，那么玻姆量子势的物理意义就很清楚了.量子势

中的R，正包含有我们定义的曲率因子.量子势反映了电子运动过程中自身空间结构的变化，正是空间结构的这种变化，决定了“点”电子运动的状态.量子势就是曲率“势”.量子势的物理意义更明确了.量子势不是以太，而是“空间是物质的延展性”哲学思想的物理化.当然把它理解为一种自组织力，原则上对的，但这种自组织力形成的势，不包含有能量的传播.因为波函数的基本形式在量子力学曲率解释中与玻姆的形式相同，电子在经典势U和曲率势的作用下运动，因此波姆描述电子运动的两个方程——径迹方程和概率方程可帮助曲率解释对一些量子现象作出说明.电子本来不是质点，当把电子抽象为质点之后，电子的形象转化成了曲率“势”.曲率大的地方，则是电子动量大或出现几率大的地方，反之亦反.这就为粒子在屏幕上出现的随机性开通了道路.德布罗意说电子骑在波上，多少是量子力学曲率解释的形象描述.而这与德布罗意的原意已完全不相同了.

1951年，Princeton大学教授DavidBohm提出了一个新的版本的EPR悖论．Bohm的方案是考虑一对处在单态(singletstate)的自旋1/2粒子．意即，粒子的自旋态为：(这里读者可能需要一点量子力学自旋及角动量相加理论的基础…)，|spinsinglet>=(|z+>|z->-|z->|z+>)/√2，两个粒子互相分开，并分别进入一探测器A，B，探测器A，B是一Stern-Gerlach装置，可以安排成测量粒子任一方向自旋角动量的分量．现在假设A被安排成测量粒子1的z轴自旋分量Sz，B也被安排成测量粒子2的z轴自旋分量．由于粒子对处于singletstate，我们不知实验结果为何，只知道获得正负h/2的机率都是百分之五十．然而，若是A测量的结果是+h/2，那么我们可以确定B的结果必是-h/2.

这种情形有点儿像在袋子中放了黑白两球，我们伸手去拿一球，那拿到黑球或白球的机率各是50%．但假如我们拿到了白球，那袋中剩下的球必是黑球!然而这样的类比还是太过简单了．量子系统可比这复杂多了!因为我们也可以安排A，B去测量自旋的x轴分量或是其它方向的分量．我们的量子球不但可以是黑和白的，也可以是红和绿的!

一个自旋1/2粒子的Sx及Sz的本徵态有下面的关系：|x+>=(|z+>+|z->)/√2，|x->=(|z+>-|z->)/√2，|z+>=(|x+>+|x->)/√2，|z->=(|x+>-|x->)/√2，因此若将singletstate用|x+>和|x->表示，则为|singletstate>=(|x->|x+>-|x+>|x->)/√2.所以同样地，如果我们量测粒子1自旋的x轴分量，得到的结果为正，那量测粒子2自旋的x轴分量结果必为负．(这并不奇怪，因为singletstate的自旋总角动量为零，因此两个粒子在任一方向的自旋分量必相反．)

现假设，让A量测粒子1的Sx，而B量测粒子2的Sz，那么即使我们得到A的结果为正，我们仍不知道B的结果为何．因为虽然我们知道粒子2的Sx，它的Sz仍然完全未定．我们得到的结果仍是正负各百分之五十．

根据以上讨论，我们有下面的结果：(1)如果A和B同时量测Sz，那么两者的测量结果有百分之百的相关程度(即符号完全相反).(2)如果A量Sx而B量Sz，那么两者的结果将没有任何的相关．

看来，在B处测量的结果将和A处做何种量测有关．但是A，B可以相距几公尺，几公里，甚至几光年(原则上)!在B处的粒子2如何能「知道」我们将在A处做什么测量，进而「决定」它的行动呢?(若测同一轴就跳到和A相反的方向，若测相互垂直的方向就可以随机?).所以在认为没有超距作用，即在A处的量测不可能影响在远方的粒子2的情形之下，我们只好认为，两个粒子在出发之时，就已经「想」好了要「告诉」侦测器何种结果．而且，两个粒子的「想法」是刚好相反的．因此两个不可对易的算符Sx和Sz将同时地具有「物理实在」(physicalreality).或者，我们可以把它叫做「密码」或「指令集」更恰当．我们可以将粒子的「思想」称为是「密码」或「指令集」．粒子也许并非想像中的无知，到了侦测器前面，才临时地「掷骰子」决定自己命运．冥冥之中正有一股力量在操纵一切：一种隐藏的，未知的参数控制了粒子的行为．这种「隐藏」的性质决定了我们观察的结果(spinup，spindown)．我们所见到的机率现象，只是统计的，平均的结果．这种观点称为「隐变量理论」(Hidden-variabletheory)或是量子力学的「隐变量解释」．其实这样的观点并不陌生．例如在热力学中气体的温度，压力等巨观物理量，都可以用分子运动论，以大量分子作无规律热运动的统计平均效果加以说明．因此分子的质量，速度等可以看成是热力学中的「隐变量」，而分子运动论就是热力学的「隐变量解释」．然而，量子力学的隐变量理论将会遭遇严重的困难．粒子的密码或指令集就是EPR所谓的「物理实体(physicalreality)」．然而这些实体是分别属于两个不对易算符Sx和Sz的．量子力学对自旋的描述(二维的Hilbert空间)显然不能(同时)包含这些实体，它们在理论中没有对应物，因此不能认为量子力学的描述是完备的．

到此为止，可以根据爱因斯坦和Bohm的理想实验，将EPR的推论过程总结如下：爱因斯坦定域性原则，无超距作用．==>两个不可对易的物理量(如p及x，Sx及Sz等)将同时具有确定的值．==>这些值并未包含在波函数(或自旋态等)的描述中．==>量子力学的描述是不完备的．可以看出争论的焦点在于定域性原则上．只要承认这个原则，似乎不可避免会得到EPR的结论．为了对EPR论证进行实验研究，玻姆在50年代首先把EPR理想实验变成测量质子自旋和测量光子偏振关联的方案.这类实验早先由吴健雄等人做过，结果与量子力学的预言相符.