Zmn-1192 薛问天: 关键是对【无穷集合】的特性还没有真正认识。评李鸿仪先生的《1189》。

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对李鸿仪先生的《Zmn-1189》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

关键是对【无穷集合】的特性还没有真正认识。

评李鸿仪先生的《1189》。

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

同李鸿仪先生的讨论已持续了一段时间了。他的这篇《1189》可以说是他观点的一个概括。说来说去，其实他的观点出之一个错误，那就是我在本文标题中所说的，关键是〖对【无穷集合】的特性还没有真正认识〗。无穷集合的什么特性呢？实际上简单说，基本上就是这两点。

第一，承认无穷集合的存在，承认无穷过程是可以完成的。

我们知道无穷集合的存在，这是无穷公理断定的命题。不过我们还需认识到在现实世界中，确实有无穷集合的实际存在。不能认为无穷过程永远不能完成，从而无穷集合不会存在。举个简单的例子。你必须承认，在坐标0到1的这个现实世界中有无穷个点集合的存在。先不说连续的实数。就只说这个最简单的无限序列:

a1=0/1, a2=1/2, a3=2/3, ..., an=n-1/n, ...。

显然这无穷个点都在[0,1]这个区间中，因为对任何n，都有an=n-1/n＜1。尽管这无穷个点，你写不全，但是，任何人都肯定承认这无穷个点的每个点都是实际存在着的。不能因为你写不全就不承认它的实际存在。因而由所有无穷个点点构成的这个无穷序列，或说这个无穷集合是现实存在的。

当然，如果有个小球从0运动到1，经过每个点的过程是个无穷的经历过程。显然小球可以完全经厉这无穷个点的所有的点。因而这个无穷过程也是可以完成的。

所以要承认无穷集合的存在，承认无穷过程是可以完成的。

第二，承认无穷集合可能同它的某个真子集一一对应。显然这是无穷集合不同于有穷集合的特性。因为任何有穷集合都不可能同它的真子集一一对应。

举个简单的例子，设X={0,1,2,...}，Y={1,2,...}。显然Y是X的真子集，因为Y⊂X，而且有0∈X，但0∉Y。而且可证y=f(x)=x+1是X和Y间的双射。因为若f(x1)=f(x2)可推出x1=x2，推出f是单射; 另外任何y∈Y，存在有x=y-1，使f(x)=y，推出f是满射。所以，X同它的真子集Y一一对应。

当然要认识和承认这一特性，必须了解一一对应等概念的严格数学定义。

【定义(一一对应)】我们称集合X同集合Y是一一对应的，当且仅当X和Y间存在双射。

其中的双射是满足单射和满射条件的映射。当然，什么是映射，单射和满射都有严格的定义。

集合间建立双射的直观含义就是元素间可以建立一种不重复无遗漏的一对一的对应关系。

【定义(有穷集合)】一个集合称为是有穷集合，当且仅当存在自然数n，此集合能同集合n={0,1,2,...,n-1}一一对应。

【定义(无穷集合)】一个集合称为是无穷集合，当且仅当它不是有穷集合。

我们发現李鸿仪的大多问题都是由于没有认清无穷集合的这两个特性引起的。所以我们建议先把这个问题弄清，先问问你承认不承认无穷集合有此特性。只要承认无穷集合有此特性，所有问题都会迎刃而解。

1 ，存在外延固定不变的无限自然数集合吗？

我们知道所有的集合，都有固定不变的外延。也就是说，我们讨论的是事物的相对隐定性。任何集合都是隐定的，有固定不变的确定的元素。在我们讨论中，集合的元素不会变成不是它的元素，不是元素不会变成是它的元素。李先生认为不存在外延固定不变的无限自然数集合。就是否定无限自然数集合的存在。实际上他的论证是在否定无穷集合的存在和无穷过程可以完成。

他说【在自然数集合的形成阶段，自然数加1的过程是永远不能完成的。】

【由此可见，所谓集合元素的确定性只能用于有限集合，而不能用于无限集合。】

他的问题就是我前面说第一奌，不承认无穷集合的存在，不承认无穷过程可以完成。

实际上有无穷集合的存在，这是无穷公理所断定的。因为无穷公理断定有归纳集合存在。而又可证明所有的归纳集合都是有穷集合。另外由于可证自然数集合是最小的归纳集合，即自然数集合是归纳集合，而且是所有归纳集合的子集。从而可由无穷公理和分离公理合起来证明自然数集合的存在。这就说明自然数集合的存在是可以严格证明的命题。

2 ， 自然数集合是唯一的吗？

李先生连自然数无穷集合的存在都不承认。当然他不会承认自然数集合是唯一的。要承认自然数集合是唯一的，必须首先承认自然数集合的存在。事实上自然数集合的唯一性，可由外延公理严格证明。

3 ， 比较无限集合的大小应该用基数还是元素数目？

李先生的逻辑是相当混乱的。既然李先生不承认集合论中的无限集合的存在。怎么还来【比较无限集合的大小】。你的【无限集合】指的是什么？要知道基数是针对集合论中的无限集合的。而且集合论中的无限集合并没有【元数数目】的数学定义。业界认可基数就相当于实际上集合论中的无限集合【元素数目】的定义。

实际上李的逻辑相当混乱。他的【无穷集合】另有所指，指的是他说的【外延是在不断扩大的】【李氏无穷集合】。要知道他并没有对此严格定义。他写的定义，N定义为{1，2，3....}，将N′定义为{2n-1，2n丨n∈N}，这些都是随意乱写的。对如何给出【李氏无穷集合】，他并未严格定义。总之，其中是矛盾重重的，【外延是在不断扩大的】还能有确定的【元素数目】吗？没有【有确定的【元素数目】】还能比较大小吗？又提出什么【比较两个无限集合的相对元素数目】的问题。这一切都是相当混乱的，并未能给出严格的定义。还说【显然比所谓的基数理论要精确可靠得多。】完全是自吹自擂。

 一一对应是集合论中两个无穷集合的关系，李先生用它来针对【李氏无穷集合】，当然是相当混乱的。说什么【当且仅当两个集合的元素数目是精确相等的时候，它们之间才能建立严格的一一对应。】简直在乱弹琴。【李氏无穷集合】连固定的外延都没有，【集合的元素数目】连定义都没有，怎么还能【集合的元素数目是精确相等】【建立严格的一一对应】。

4， 有理数和自然数一样多吗？

自然数是有理数的真子集，但有理数和自然数都是无穷集，而且证明了有理数集合可以与自然数集合一一对应，这是相当正常的事。如果你把一一对应认为是【元素数目一样多】。那么自然数和有理数的数目就是一样多。这很正常。如果你承认了我前面讲的无穷集合的第二点。你就应该承认这个事实。

李先生说【但该结论显然是反直觉的:有理数当中包含着自然数，即自然数只是有理数中的一部分，部分怎么可能等于全体？两者怎么可能是一样多的呢？ ]充分说明李先生没有认识到无穷集合的这一特性。

至于李先生所做的解释【既然自然数集合不是唯一的，就没有理由认为与有理数集合一一对应的那个自然数集合就一定是有理数集合中包含的自然数真子集，既然它们不是同一个集合，元素数目不相同就再自然不过了，矛盾也就不存在了。】当然是错的。错就错在，实陈上，自然数集合是外延固定的无穷集合，是唯一确定的集合。与有理数集合一一对应的那个自然数集合就是有理数集合中包含的真子集，它们是同一个集合。这是无穷集合同它的真子集一一对应的典型实例。

5 ， 存在伽利略悖论吗？

伽利略提出的不是悖论，自然数集合同它包含的偶数真子集一一对应，这是事实。李先生的解释是错误的。实际上自然数集合是唯一的，偶数集合也是唯一的，与自然数集合一一对应的那个偶数集合就是自然数集合包含的真子集，这是早在400年之前伽利略就提出的事实，早已证明它不是悖论。

6.1， 无限集合能与其真子集一一对应吗？

李先生说【 只有当两个集合的相对元素数目精确相同时，才能建立严格的一一对应，而任何集合的真子集，仅仅是原集合的一部分，元素数目的相对值不同，怎么可能建立一一对应？】

李先生应当明确知道，无穷集合并没有【元素数目】这个数学概念，所以在这里说【元素数目精确相同】是没有意义不合逻辑的。这一切都说明李先生的问题出在他没有认识到【无穷集合可能同其真子集一一对应】的这个特性。

6.2， 存在全体自然数吗？

集合论中所说的自然数集合，就是全体自然数的无穷集合。当然可证自然数集合是存在的而且是唯一的，李先生不承认全体自然数隼合的存在和唯一，就是由于他根本不承认无穷集合的存在和无穷过程可以完成。

7 ，无限小数的小数位数是一样多的吗？

可以把无限小数定义为其位数与自然数集合一一对应的小数。由于自然数集合是唯一的，所以所有无限小数的位数都可一一对应，如果把位数可一一对应看作是【位数是一样多的】，那自然所有无限小数的小数位数是一样多的。

例如，抽取一个无限小数A的偶数位得到的也是无限小数(不妨用B表示)，但B的小数位数同A的小数位数一一对应，所以【位数是一样多的】。

8 ，一维空间和二维甚至多维空间的实数点是一样多的吗？

因为一维空间的实数点集合是二维甚至多维空间的实数点集合的真子集。但是它们可以一一对应。所以如果把一一对应看作是【一样多的】，自然一维空间和二维甚至多维空间的实数点是一样多的 。

李先生认为【所谓一维空间和二维甚至多维空间有相同多的实数点这些明显荒唐的、反直觉的东西，】问题出自他没有认识无穷集合的这一特性。

9 ，不同周长的同心圆上的实数点为什么是可以一一对应？

为什么？因为虽然同心圆的周长不一样，但是可以严格用数学方法证明，圓周上面的实数点却可以一一对应。

李先生所说的【不难证明，假定大圆的周长是小圆的两倍，那么小圆的小数(二进制)位数比大圆的小数位数多一位。】是胡乱讲的。他给不出这样的证明。

10， ∞+1=∞？存在无限旅馆悖论吗？

大家都知道∞是无穷极限的标志，不是数。所以李先生所说的【∞+1=∞】【却被数学界和哲学界广为接受】完全是李先生的胡言乱语。

无限旅馆的例子很好的说明有穷和无穷的不同。在有限旅馆中，房间数和旅客数都是有穷的。当房间数和旅客数相等时表示【客满】，此时如果旅客数增加，房间数和旅客数不能一一对应，所以住不下。

但是在无限旅馆中，情况就不同了。房间数是无穷的。旅客数允许是无穷的。当旅客数无穷时并不能表示【客满】，因为旅客数增加时，房间数和旅客数还可能一一对应，一一对应表示仍能住下。

李先生根本就没有理解什么是无限旅馆，说什么【把"既客滿又没有客滿"的自相矛盾当做科学真理，这是人类思想史上的奇迹还是耻辱？抑或根本就是奇迹般的耻辱？】他的错误在于他设有认识到到【无穷集合可能同其真子集一一对应】的这个特性。

当然，无限旅馆只是存在与我们理论中的一个数学概念，现实世界中只有有限旅馆。

11， 对角线证明了实数不可列吗？ 

康托尔的证明，当然是严格证明了实数不可列。对李先生的质疑，不用评论了，因为他把【可列】和【不可列】的概念搞错了。

我多次强调的这段话: 〖任何数学概念的确切含义，都是由它的数学定义所确定的。即使是没有定义的原始概念，它的含义也要由公理来界定。有些人在理解数学概念时不关心数学的严格定义，而是在数学名词的字面含义上胡乱猜测。这是数学初学者常犯的错误，〗

没想到李先生就犯了这个错误。李先生说【直觉告诉我们，任何存在的东西，不管是有限的还是无限的，总是可以一一列出的，最多就是列不完而已。因此，存在所谓不可列集合似乎也是反直觉的。 】 可见李先对【可列】的解释全是错的。哪来的【列完】【列不完】 。  

什么是数学上的【可列】和【不可列】？李先生就是对【可列】，这两个字的字面含义在这里胡乱猜测。错了！李先生的数学学习方法错了。要了解【可列】的确切含义，必须根据它的定义。

【定义(可列，可数)】我们称一个集合是可列的(可数的)，当且仅当集合可同自然数集合一一对应。

因而这里说的实数可列。当然指的全体实数。自然数集合当然也是指全体自然数的集合。李先生说的【 (这里要注意所谓一一列出与全部列出是有区别的。例如，我们可以一一列出自然数，但我们永远不可能列出全体自然数，这是因为，如前所述，根本就不存在全体自然数这个概念)】全部是错误的。

因为李先生把【可列】和【不可列】的概念搞错了，所以对李先生的质疑，就不再评论了。

12， 康托定理的本质是什么？

康托定理的本质当然是证明实数的基数比自然数大，实数不能同自然数一一对应。任何集合的幂集的基数永运是比原集合的基数大，这是康托定理的另一个更广泛的定理，当然需要严格的证明，怎么能是李先生所说【实际上是不证自明的】。这纯粹是李先生的胡言乱语。

自然数的幂集根本不可能同自然数集一一对应。′

13， 直觉和逻辑的关系应该是怎样的？ 

逻辑推理建立的理论，如果是正确的反映了科学的规律，当然一般是符合人们对客观的直觉。李先生认为康托尔证明的命题以及集合论对无穷集合特性的描述是【反直觉】的。这完全是由于他所说的直觉并不是真正的【直覚】。李先生把他常期以来由他的经验所形成的客观的有穷事物所遵循的规律。错误地以为是整个客观事物的规律，以为是【直觉】了。从而把无穷集合不遵循有穷集合的规律，错误地认为是【反直觉】了。

你仔细分析李先生的言语，他反的【直觉】就是无穷集合的真实特性。就是认为固定外延的无穷集合不存在，认为无穷过程永远不可完成。和认为无穷集合不能同它的真子集一一对应。如果他经过思考承认了无穷集合的这些特性，这些【反直觉】的议论就不复存在。

另外，直觉主义和逻辑主义的分歧并不在直觉和逻辑的矛盾，直觉主义还提出有直觉逻辑。那是另外的话题。

后记   

李先生在后记中说【集合论中的思维实在是太随意，太不严谨了，错误和悖论也实在是太多了】

只能说，这是李先生说的【太随意，太不严谨了】。不要这样空洞的议论，要拿出具体的事实来。一个一个来讨论。

李先生接着说【例如很多命题并没有严格的证明，就想当然地把它看作是正确的，再比如一些很基本的概念，比方说行标和列标也会搞混。】

【很多命题没有严格的证明】一个也举不出来，说来说去就说了个【行标和列标也会搞混】。其实行标和列标一点也不混，都是自然数集合清清楚楚。自然数集合的存在和唯一性都是有严格证明的。你要质疑就要对这些证明来质疑，可你对这些推理和证明毫无顾及。李先生，这是否说明你说的【太随意，太不严谨了】。

我对你说的那些空泛的议论毫无兴趣，谈你说的具体问题。

他对我强调:"反证法首先要给一个假定″，该"假定命题...不能是【可真可假的】"，有意見，他说【请注意他的上述不能可真可假的判断是在刚提出假设而不是反证完成后给出的。这就暴露了他连最基本的逻辑次序都不懂,还可能懂逻辑吗？ 如果证明都还没有，就可以事前诸葛亮地预判一个命题的对错，哪里还需要证明？哪里还允许质疑和研究？】

这段话就说明李先生的逻辑极不严格。任何命题，称其为是一个具体命题，这个命题或者是真，或者是假，二者只能取其一。任何命题，它不可能既是真命题又是假命题，说它【可真可假】，这还用说吗？至于你是否知道它的真假，你是否承认它的真假，那是另一回事，但命题本身是真是假只有一个，不可能[可真可假]。用反证法证明的作者，当然认为他给的假定命题是假的，他的证明就是由此假定的命题推出矛盾，证明此命题为假。所以反证法所假定的命题怎么能是【可真可假】的呢？

另外李先生还说【我一直认为无限自然数集合的外延是无法确定不变的，而且我可以给出严格的证明。但与薛争论了好几年，他一直看不懂我的十分简单且严格的证明。】从这句话就看出李先生的数学水平和逻辑水平了。什么是集合的外延，外延就是集合的元素。自然数集合的外延就是所有的自然数。要知道作为自然数集合的元素，哪些数是自然数，哪些数不是自然数是完全确定的，怎么能是【无法确定】【不断变化】的呢？李先生把他说的那些话认为是【十分简单且严格的证明】，足以说明他根本不懂什么是数学，什么是数学的【证明】。要知道自然数集合作为外延固定的集合的存在性和唯一性，这都有严格的数学证明。你对此命题进行质疑，你评论过它的数学证明了吗？

李先生讲起道理来，很好听。他说【学术思想有对有错，说别人错是可以的，但是一定要具体指出错在什么地方，为什么错？要像做数学证明题一样严格证伪别人的命题后，才可以说别人错了。没有用逻辑证明或证伪就说别人错了，这叫做不懂逻辑，不讲道理。】

道理讲得很好，你扏行了吗？你对自然数集合的存在性和唯一性的严格数学证明，【具体指出错在什么地方】了吗？

李先生说的很好【这叫做不懂逻辑，不讲道理。】【连最基本的逻辑常识都不懂，证明都看不懂，却又要对别人的工作指三道四，难道不很可笑吗？】

关于同人工智能AI文心一言的对话。

文心一言的回答【不存在外延不变的无限自然数集合】，以及说【外延不变的自然数集合是有限集合】，显然这都是错误的。我就不做具体评论了。因为现在的AI对话，虽有很大的进步，但距高用来判断数学和迢辑命题的对错，还有很大的距离。

最近有些人利用AI对话中的错误，作为自己的错误的跟据，为此我也同AI做了有关对话，原文附后供大家参考。

----------------

附录

【问】: 要知道AI对话中可能有错误的回答，最近有些人利用AI对话中的错误，作为自己的错误的跟据，来为自己的错误观点作辩护。你对此有何评论。

【答】: 确实，AI对话模型在回答问题时可能会出现错误。这些错误可能是因为模型的训练数据不完美，或者因为它无法理解某些上下文。然而，我们应该谨慎对待这些错误，并不应该将其作为自己观点的依据。以下是一些应对AI回答错误的建议：

明确问题背景：在提问时，提供详细的信息和背景有助于AI更好地理解你的问题。清晰简洁的提示语有助于保持对话的连贯性，而模糊或过于笼统的提示语可能导致模型不知如何回答。

引导回答：如果你对AI的回答不满意，可以尝试不同的提问方式。例如，让AI扮演特定角色，明确指定内容、受众和风格，以获得更精准的回答。

理解AI原理：了解AI生成文本的基本原理有助于更好地与其对话。虽然AI模型可以回答追问、承认错误和拒绝不适当的问题，但它仍然是一个工具，需要正确引导和使用。

总之，AI模型的回答仍然需要人类的指导和判断。我们应该保持批判性思维，不要过分依赖AI的回答，同时也要认识到AI技术的局限性。

【编者按。下面是薛问天先生又发来的补充意见，】

补充意見。

刚刚看到李鸿仪在《1189》后的补充内容《15》，现补充评论如下。 

李鸿仪先生提出的无限观不是【正确的无限观】，是错误的无限观。

1，首先李先生对【无限小】的认识是错误的。极限论是把【无限小】定义为极限为0的变量，不是常量。没有【无限小】这个常数。李先生说【假定每增加一个自然数所需要的时间为无限小】，是不对的，没有这个数。同时也没有【无限大】这个数。说什么【任何一个有限数除以无限小都等于无限大，】这都是错误的表述。早期微积分就因为把无穷小认为是最小的常数，才出现了无穷小等于0和不等于0的贝可萊悖论。

2，李先生说【无限可能达到】，必须说清达到的什么。

李先生说无限的【极限是可能达到的】，说【容易证明:当且仅当无限无法达到时，极限是不可达的。因此，极限是可能达到的，】

这是李先生对极限概念非常错误的理解。极限理论说得很清楚，极限是不可达的。说当n→∞时，无穷序列an的极限是A，序列是达不到极限的。就是说在无穷序列中不存在最后一项，第无穷项，使a∞=A。即没有这个无穷项，当然序列也达不到这个无穷项。所以说极限是不可达的。

现代实无穷观认为【无限是可达的】，是指【无穷集合】是存在的，可以达到存在的无穷集合和此集合中所有的元素。

说当n→∞时，无穷序列an的极限是A，极限是A这个值可以求出，证明这个事实成立，必须达到和涉及序列中所有的项。因为极限定义要求对任何ε都存在N，使得所有项an(n>N)，都有|an-A|<ε。这里涉及所有项an(n>N)，如果序列αn的这个集合没有包括所有的项，则连极限也求不出来。所以说【无限可达】指的是无穷集合是存在的，可以达到包括无穷集合所有的元素。

3，李先生说无限【永远不能完成】。

这显然不正确。由人或者计等机来扏行包括无穷个动作的无穷过程，当然不能完成，因为人或计算机扏行每一个动作或计算最短都需耍一定的时间，在有限的时间内不可能完成无穷个动作。所以【永远不能完成】。但是这无穷过程如果不是由人或计算机来一个个操作，而是客观现实的实施，那完全可以在有限时间内完成。这种现实多的是。例如我们举的小球运动的例子。从0点运动到1点，中间要经过无穷个点a1,a2,...。这经过无穷个点的无穷过程就完全可以在有限时间内完成，无限过程【可以完成】而不是【永远不能完成】。

【编者注。读者可点击頁面最上面的〖博文〗这个选項，来查找本《专栏》的其它文章。】