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引力波问题的广义相对论基础

《自然杂志》１９卷４期的‘探索物理学难题的科学意义'的９７个悬而未决的难题：

４．引力能否被屏蔽？７．引力子，你在何方？_.

爱因斯坦广义相对论预言，引力波的主要性质有：①在真空中以光速传播；②携带能量和与波源有关的信息；③是横波，在远源处为平面彼；④最低次为四极辐射；⑤辐射强度极弱（如两个质子组成的旋转体系辐射的引力波强度约为它所辐射的光波强度的1/1057)；⑧物质对引力波吸收效率极低，穿透性极强（如地球对引力波几乎是透明的）；⑦其偏振特性为两个独立的偏振态等.(摘自《2000年电子版中国大百科全书》天文学“引力波”中内容，作者秦荣先陈嘉言)

早在1916年，爱因斯坦就根据弱场近似预言了弱引力波的存在，但最初关于引力波的理论是同坐标的选取有关的，以致引力波到底是引力场固有的性质，还是某种虚假的坐标效应，以及引力波是否从发射系统中带走能量等问题，长时间没有得到澄清.爱因斯坦引力场方程是双曲型偏微分方程，它意味着引力场的扰动将以一个有限速度传播，这种扰动就是以光速传播的引力波.引力波方程可从爱因斯坦引力场方程的弱场近似解导出，把弱场情况下的引力场势函数简化为一个二阶齐次偏微分方程，这个方程与光波方程在数学上完全相同，所以引力场的运动也是波动，其解也是普通的平面波方程，引力波是横波，速度等于光速.

爱因斯坦发现非惯性(有相互作用力)牵引运动系有时空弯曲特性，欧基里得平直时空的闵可夫斯基矢量已不适用于时空各点，就不得不放弃使用欧基里得平直时空的矢量而采用曲线坐标直接表达时空各点的位置，并找到数学中已发展了的黎曼空间微分几何、张量运算作为工具，利用黎曼时空“度规张量”的各“元”作为参量，类比由库伦(Coulomb)静电定律转变到马克斯威尔(Maxwell)方程组的变换规律，建立起相应的“引力场方程”.

也确曾由此提此过“存在引力波”的预言，但是，不久，于1936年6月1日，爱因斯坦就与内森·罗森（NathanRosen）投稿给美国物理学会主办的《物理评论》期刊的，题为“DoGravitationalWavesExist?（引力波存在吗？）”的学术论文，更正，指出：

“…，引力波并不存在，尽管在初级近似下它们的存在曾被认为是确定无疑的.这表明非线性的广义相对论波动场方程可以告诉我们更多东西，或者更确切地说，对我们的限制远多于我们迄今为止所相信的.”在1936年10月普林斯顿高等研究院为爱因斯坦安排的一个学术报告会演讲结束时，无可奈何地总结道：“如果你们问我引力波是否存在，我必须回答：我不知道.但这是一个极为有趣的问题.”，既不能肯定，也并未否定，他“引力波并不存在”的观点.

线性爱因斯坦方程

引力波——时空的波纹（示意图）

广义相对论预言下的引力波是以波形式传播的时空扰动，被形象地称为“时空涟漪”（RipplesinSpacetime）.广义相对论下的弱引力场可写作对平直时空的线性微扰：（以下采用自然单位，引力常数G=光速c=1）.，其中，这里是平直时空的闵可夫斯基度规，是弱引力场带来的微扰.在这个度规下计算得到的黎曼张量为

爱因斯坦张量为

这里，，被称作迹反转度规微扰（trace-reversemetricperturbation）.

如果采用洛伦茨规范，爱因斯坦张量的后三项将为零，这里洛伦茨规范的形式为.

波方程的一般解为如下本征函数的线性叠加：，其中是四维振幅，是四维波矢，满足条件，这表明引力波传播经过的测地线是零性的，即其传播速度是光速.四维波矢，其中是波的角频率，是经典的三维波矢.由于洛伦茨规范并不唯一，此时坐标还不是完全确定的.如果再加上条件：，，第一个条件表示引力波张量中所有与时间t有关的分量都为零，第二个条件表示引力波张量矩阵的迹为零.因此这组规范条件叫做转置无迹规范（transversetracelessgauge），简称TT规范.在TT规范下，.由洛伦茨规范和TT规范共同决定下的引力波张量只有两个分量是独立的，它们实际对应着引力波的两种偏振态.对于在z方向传播的波矢，这两个振动分量垂直于传播方向，这表明引力波和光波一样是横波，其张量形式写作引力波的偏振对质点位置的调制 引力波的偏振对质点位置的调制

和是引力波的两种偏振态，右图中示意了两种偏振各自不同的振动形式.

广义相对论的弱场辐射解具有如下的特点：在真空中以光速传播的横波没有偶极辐射，只有四极或更高级的辐射，它携带有能量，穿透能力极强等等.从物理图像上看，弱场近似下的辐射解毕竟是值得注意的，一方面，任何可观测到的引力辐射的强度都非常低，另一方面，弱场近似下的引力辐射理论，有可能沟通广义相对论同微观物理学之间的鸿沟，赋予引力学概念以确切的含义.

从50年代末到70年代初，广义相对论经典理论的研究也大大深化了，其中引人注目的是引力波的进展.对于广义相对论是否存在引力波的问题一直争论不休，因为人们当时搞不清广义相对论中的引力波会不会仅仅是一种坐标效应，这在很大程度上是对广义相对性原理的不恰当的理解而引起的.直到50年代末，同坐标选取无关的引力辐射理论才开始形成，随后，科学家求出了爱因斯坦真空场方程的一种以光速传播的平面波前、平行射线的严格的波动解，并证明了检验粒子在引力波作用下会产生运动，从而表明了引力波携带着能量，不过，由于爱因斯坦方程是非线性的，有关引力波的一些理论问题仍有待继续澄清.60年代初，人们弄清了在理论上的确存在引力波.引力波可以看作是以光速传播的力场，它和光波在许多方面类似，和坐标系的选择毫无关系.由于引力波与物质的相互作用十分微弱，这给探测引力波的工作带来了很大的困难，用实验方法产生引力波的困难尤为严重.爱因斯坦曾由导出的“引力场方程”得出过“存在引力波”的预言.但是不久，于1936年6月1日爱因斯坦就更正指出：“…，引力波并不存在，尽管在初级近似下它们的存在曾被认为是确定无疑的.这表明非线性的广义相对论波动场方程可以告诉我们更多东西，或者更确切地说，对我们的限制远多于我们迄今为止所相信的.”