Zmn-1177 一阳生 : 若【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，则【第无穷次后继运算必存在】，评《Zmn-1174》。

【编者按。下面是一阳生先生的评论文章。是对薛问天先生的《1174》文章的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意 见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

若【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】，则【第无穷次后继运算必存在】或【第无穷次演算必存在】，

评《Zmn-1174》。

一阳生

一、薛老师须证明：【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】推不出【第无穷次后继运算的存在】。

1、薛老师既然承认了是自然数的集合论定义定义了自然数或皮亚诺公理定义了自然数，那么就应勇敢的承认命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】不是自然数的定义。但薛老师却说该命题因为可被自然数的集合论定义或皮亚诺公理推出(事实上推不出)，所以该命题是自然数定义的一部分。

是就是，不是就不是，数学中没有是一部分的荒唐说法！在假设命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】可被数学归纳法证明的条件下，该命题的“身份和地位”是自然数所具有的性质，而不是自然数的定义。数学中的是非对错是分明的，薛老师不能骑墙。

薛老师说通过该命题得到自然数的过程是直观的说明。薛老师要解释清楚为何被称为直观？难道该命题得到自然数的过程是形象化的和物理化的？还是因为后继运算表达行为动作所以不是数学概念？

2、我说基数是定义在序数的基础上的。有基数意义上的【无穷次后继运算】或【无穷次演算】，必然会有序数意义上的【无穷次后继运算】或【无穷次演算】存在即【第无穷次后继运算】或【第无穷次演算】存在。这从替换公理上也可看出。

假设命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】是成立的。因为该命题是全称命题，所以可应用替换公理，自然数与次数的对应关系为：序数0对应次数{0次}、序数1对应次数{0次,1次}、序数2对应次数{0次,1次,2次}、…。其中的次数{0次}、{0次,1次}、{0次,1次,2次}、…表示基数意义上的无穷次(或无穷个)后继运算或无穷次(或无穷个)演算。同时根据替换公理，无穷序数ω对应无穷次数{0次,1次,2次,3次,…}，所以无穷次数{0次,1次,2次,3次,…}是客观存在。薛老师说说看，该无穷次数如果不是【第无穷次后继运算】或【第无穷次演算】，那他到底是什么？

后继运算和演算都是表达行为动作，如同小球的运动。在该命题成立的假设下，我们把主观思维聚焦在后继运算上或演算上，当进行了基数(或序数)意义上的【无穷次后继运算】或【无穷次演算】后，(我们主观思维上的聚焦不会消失，如同小球一样不会消失。)我们所聚焦的后继运算或演算，其运算到或演算到哪个数了？显然不可能是自然数，只能是无穷序数ω。因为运算到或演算到或聚焦到任一自然数都不会遍历全部自然数。也就是说运算到或演算到或聚焦到N={0,1,2,3,…}了，因为如果没有运算到或演算到N，那就只能是运算到或演算到N中的某一)、1自然数，这就不能运算完毕或演算完毕全部自然数了。

薛老师知道第无穷次后继运算必然带来第无穷个自然数，所以否认第无穷次后继运算的存在。殊不知【第无穷次后继运算】的存在正是由命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】推出的。薛老师以不存在第无穷个自然数为由，否认【第无穷次后继运算】的存在，固然是正确的，但在我看来是没抓住关键和矛盾之处。

薛老师承认命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】成立，却不承认【第无穷次后继运算】的存在，这就是自相矛盾了，他们如果成立，是共同成立的，不是一个成立一个不成立。除非让后继运算不能遍历全部的自然数，即让命题【任一自然数都可由0经有穷次后继运算得到】不成立，进而他们都不成立才是正确的。

所以薛老师要抓住的重点和矛盾是：否定该命题是成立的或者至少证明该命题推不出【第无穷次后继运算】的存在。

3、从直观上看，薛老师否认无穷序数ω、ω+1等与有穷序数都可表达有序集合中或有序对象(无穷序数及其无穷对应物也可作为元素)中元素是第几个数。也就是说否认序数表达序的功能，这是错误的。例如对于序数数系0、1、2、3、…、ω、ω+1、ω+2、ω+3、…中的ω，难道薛老师不知道ω在其中表示第几个数！请薛老师回答。

当薛老师正确的理解了序数的功能后，请薛老师再次回答，既然得到有穷个自然数须后继运算运算到某有穷序数次(如n次)，那么得到全部无穷个自然数的后继运算须运算到哪个序数次？因为没有最后一个有穷序数次，所以后继运算运算到任一有穷序数次(如n次)，都得不到全部自然数。请薛老师认真回答：后继运算要运算到哪一序数次才能得到全部自然数？这个序数次是不是超过所有的有穷序数次？

二、关于小球的运动。

薛老师说：“就意味着小球在半开区间[0,1)内向1点运动时，与1点之间不存在永远不变的距离。因而完全可能小球既不达到1点，但又遍历半开区间[0,1)中的所有点。”

我们从薛老师的用词上，已能看出薛老师含蓄的承认了自己的错误。薛老师说小球与1点之间不存在永远不变的距离。薛老师到底还是承认了小球与1点之间是永远存在距离的，哪怕越来越小(但永不为0)。只要存在距离，就代表距离中的点，小球永远遍历不到。【既要不达到1点，又要遍历[0,1)中所有的点。】不是可能，而是完全不可能。

薛老师不承认错误，不是因为意识不到错误，而是因为其他原因。当然承认错误不是目的，在讨论中获得正确的知识和正确的思维方式才是目的。

三、【趋向于】是原始概念，【x趋向于x0】的含义是清楚明白的。

1、【趋向于】是原始概念，【x趋向于x0】的含义是清楚明白的。我在《Zmn-1164》中说：“谓词【趋向于】作为原始概念，不能被其他概念所定义，只能根据极限定义判断出【趋向于】具有行为永不停歇的特性。”我在《Zmn-1171》中说：“定义也可以界定原始概念的性质。”此中的定义具体而言当然是指极限定义。【x趋向于x0】(不是趋向于)具有行为永不停歇的特性，具体而言是由极限定义命题结构中的【A】和【趋向于】的字面意义决定的，逻辑没有乱套。薛老师不认为【趋向于】是原始概念，我们可是一直在等待薛老师给出他的定义哦！

作为数学中的原始概念，如集合，为什么没有数学定义，是因为集合概念的含义我们不清楚吗？肯定不是的，除去集合论公理的界定外，至少从其字面意义上和集合的表示符号大括弧上我们在一定程度上就能理解集合的含义。集合没有数学定义的根本原因是：定义【集合】须要使用到【一堆】、【整体】、【容器】等类似【集合】的词汇，属于循环定义了。

薛老师的思维定势了，有定义的数学概念暂且不说，对于全部的无确切定义的原始概念，一概排除其字面意义。殊不知除去与原始概念相关的定义和公理外，个别原始概念的字面意义也可界定其含义。毕竟原始概念不是乱起名的。所以不能因为其是原始概念，就一概认为含义不清楚。

对于原始概念【趋向于】，其字面意义上的近义词有【趋近于】、【靠近于】、【接近于】等，其的含义我们相当清楚，哪怕其作为数学概念，依然是这个字面含义。只是如同集合一样，如果对其做定义，则是循环定义，所以只能认为其是原始概念。

薛老师说：“並不能把【x趋近于x0】和【f(x)的极限是a】分开来分别定义成两个含义明确可赋真假的命题C和D。”

在A∧B成立的条件下，【x趋近于x0】具有行为永不停歇的特性，其和【f(x)的极限是a】都是含义明确的，均是可赋真假的命题，可以分开看待(虽然分开无聊无用无价值)。我在上面已给予了详细的论证，而且我前面的文章也已论证他们是标准的陈述句可赋予真假。薛老师不予认可，以命题中含有原始概念【趋向于】为由就认为分开看待各自的含义不明确，是错误的。

所以，【当x趋向于0时，f(x)的极限是a】是如假包换的蕴含关系命题，其前提【当x趋向于0】可真可假。薛老师不认可，可以论证如果是蕴含关系命题，则会带来哪些错误和矛盾？这里还是要提醒薛老师，只给出不予认可的观点，不给出详细有力的论证和针对性的反驳，是没有说服力的。

薛老师说：“但是把ε和δ看作是随时间的变化，对越来越小的ε，都存在越来越小的δ，让ε和δ动起来，这样作才能对极限的定义给出一种动态的解释。”

如果这样的话，那ψ就只能改成【当ε趋近于0时，f(x)的极限是a】了。而且去x0点的区间(x0-δ,x0+δ)的象f((x0-δ,x0+δ))中的所有f(x)的极限都是a，还要进一步改成【当ε趋近于0时，象f((x0-δ,x0+δ))中的所有 f(x)的极限都是a】。薛老师能接受这样的修改吗？

薛老师既然认为是ε和δ在运动，不是x在运动。并且又不把【x趋向于x0】看作可独立的命题。那薛老师为什么不干脆的把无用的【x趋向于x0】抛弃？把自己的定义优化为Φ⇔【f(x)的极限是a】？

当然我们都知道薛老师不敢抛弃，所以现在薛老师将不得不为【x趋向于x0】的重要存在作用做辩护，我们拭目以待薛老师的辩护！在薛老师的认知内，请老师回答【x趋向于x0】到底起到什么不可替代的作用？

2、给出观点，还要给出论证。薛老师说：“我己说得很清楚，〖极限的ε-δ定义给了当 【x趋向于x0】时【f(x)的极限是a】的完整定义。〗不能对【x趋向于x0】给出单独的分开的定义。”

薛老师的观点说的很清楚，但是理由呢？论证呢？对于薛老师的观点：单独的【x趋向于x0】没有明确的含义。我已进行了驳斥。我抛砖引玉赠送薛老师一个理由：在极限的符号中，lim下面写的是x→x0，两者在符号上没有分开，所以【当x趋近于0时，f(x)的极限是a】也不能分开是个整体的命题。但这个理由不触及本质原因，只是书写上的约定俗成。期待薛老师能说出言之有物的道理来。

3、薛老师的极限定义命题结构是错误的。薛老师说极限定义的命题结构是Φ⇔Ψ。其中Φ =A∧B即【函数f(x)在x0点的某一去心邻域内有定义，且对于任意正数ε，总存在正数δ，使得一切0<|x-x0|<δ，有|f(x)-a|<ε。】。ψ=【当x趋向于x0时f(x)的极限是a】。

先看ψ，薛老师打定主意把ψ看成是简单命题，其不包含其他简单命题。但我不这么认为，在极限定义中特别在单侧极限的情况下，【x趋向于x0】是可以细分成三种情况的，x从左侧或者从右侧趋向于x0，这取决于定义范围的选取。与此同时【f(x)的极限是a】也可细分为左右极限和没有极限等情况。所以ψ是可以拆解为两个简单命题，然后再进行细分组合的。

再看Φ⇔Ψ中的【⇔】，定义完毕后Φ与Ψ之间应是双向蕴含关系。但很遗憾，他们之间不是双向蕴含关系，而是单向蕴含关系，薛老师在这里强行定义了。Φ→Ψ是对的。但反过来Ψ→Φ就错了。

当【x趋向于x0时f(x)的极限是a】时，其蕴含的可以是A=【函数f(x)在x0点的去心邻域(x0-b,x0+b)内有定义】，也可以是A'=【函数f(x)在x0点的去心邻域(x0-b',x0+b')内有定义】，还可以是A''=【函数f(x)在x0点的去心邻域(x0-b'',x0+b'')内有定义】，等等。也就是说其可以蕴含无穷多个不同的去心邻域。所以说Ψ→Φ即Ψ→(A∧B)是错误的，如同(x^2=4)→(x=2)是错误的，Φ→Ψ才是对的！（备注：让|b''|<| b'|<|b|，他们一经给定，去心邻域即确定，去心邻域是定义域的子集。区间(x0-δ,x0)U((x0,x0+δ)随着ε的给定而给定，其不是去心邻域只是去心邻域的子集。）

举个例子函数f(x)=x^2，根据极限定义，若函数f(x)在点2的去心邻域(0,4)内有定义，且对于任意正数ε，总存在正数δ，使得一切0<|x-2|<δ，有|f(x)-4|<ε。则当x趋向于2时，f(x)的极限是4。再次根据极限定义，若函数f(x)在点2的去心邻域(1,3)内有定义，且对于任意正数ε，总存在正数δ，使得一切0<|x-2|<δ，有|f(x)-4|<ε。则当x趋向于2时，f(x)的极限是4。由此例可直接看出Ψ的蕴含并不唯一。

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