1.   背景

Kelley打赌公式基于下面假设：

盈亏只有两种可能，赚了赢的比例是b, 亏了输的比例是c=1.

盈的概率是p，亏的概率是q=1-p。

假设下注比例是f, 公式推导：

1+复利=复合回报R=(1+bf)^p(1-cf)^q

用求极值方法求使R或logR达大最大的f。

logR=plog(1+bf)+qlog(1-cf)

令dlogR/df=pb/(1+bf)-qc/(1-cf)=0

即pb(1-cf)-qc(1+bf)=0

pb-qc-pbcf-qcbf=0

pb-qc=bcf

解得f*=(pb-qc)/bc=期望收益/盈亏乘积（这是鲁晨光在1997年《投资组合的熵理论和信息价值》一书中提供的公式）。参看：http://www.survivor99.com/lcg/books/portfolio/index.htm 

当c=1时， 有f*=(pb-q)/b， 这就是Kelley公式！

当有资金成本即无风险利息r0时（没下注部分的投资收益是r0）.

这时最优比例变为：

f*=(pd1-qd2)R0/d1d2

其中：R0=（1+r0）， d1=b-r0, d2=c+r0。

注：我书中是 q*=-(p1d1+p2d2)R0/d1d2. 其中d2= -（c+r0），是负的。

详细讨论和具体例子见系列短文

《漫谈投资组合的几何增值理论》：http://www.survivor99.com/lcg/mantan.htm 

2. ChatGTP， 元宝和豆包表现

豆包是字节跳动旗下的，元宝是腾讯旗下的。

我的问题：

问题1：你知道Kelley最优下注比例公式？

三者都回答正确。

问题2：Kelley公式假设亏损比例是1， 如果不是1，而是在0和1之间，应如何改进公式？

ChatGTP第一次回答正确， 我把屏幕搞丢了， 第二次要她回答，回答就错了。它只在分子加了c， 没有在分母加c。

豆包回答对了，直接给出f*=(pb-qc)/bc， 并且说和鲁晨光的公式等价。

元宝回答和我预期的完全不同， 它认为亏损比例是c， 就等于成本是c， 收益就要做相应调整，原来的b变为：b=(1+r-c)/c (其中r就是原来的b).得到最优比例是：

f*=[(1+r)p-cq]/(1+r-c)

这个思路很有意思，我问元宝：你看有人得出的最优比例是期望收益除以盈亏成绩，你看对不？她说思路不同， 结论应该一样。后来我仔细分析，结论还是不一样。尽管如此，我觉得元宝的回答还是很有意思，结论也相差不远。

问题3：考虑资金成本，即银行利息r0, 公式如何改进？

没有一个答对。

1. 结论

1）大模型已经相当有水平了。

2）从这个例子看，Chatgpt没有明显优势（但是上次我问一个医学问题：ACR比值3.6mg/mmol等于多少mg/g，ChatGPT就胜过豆包和元宝，但是后者经过提示也得到正确答案）。

3）这几个大模型在数学方面还是不能胜任复杂数学问题，主要是它没有完整的数学体系。

关于鲁晨光更多研究参看：http://www.survivor99.com/