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超实数集引入的意义

实数域是单层次的，而超实数域是多层次的.由于实数域只有一个层次，因而在说明与无限小和无限大相联系的概念，如瞬时速度、瞬时功率、瞬时化学反应速率、瞬时速度、瞬时电流强度、点密度、面密度、体密度等概念时遇到了很大的困难，常常不得不着眼于概念的外部联系，而无法分析概念的内部矛盾.以瞬时速度为例，在标准实数域中，不得不把瞬时速度定义为平均速度的极限，这种方法实际上只着眼于概念的外部联系.而在超实数域中，瞬时速度则表达为质点在这一瞬间的位移与所经历时间之比的标准部分.这样既深入到了点的内部，又把瞬时速度与平均速度更好地统一了起来.莱布尼兹认为曲线的切线是曲线割线的极限，但是对于直线而言这一观点初学者难以理解，因为割线就无法定义，如果从超实数集的观点就好理解了.

从某种程度上说，点是我们人类强加给线段的，正因为数学基础中存在着这个内在的矛盾，从而导致了数学中的很多奇怪、荒唐的结果，从而影响了数学确定性的形象，这个问题的根本还是在于对有限无限矛盾需要有一个辩证的认识.对于点、线段的关系，我们有两种可以接受的认识：一种是认为“线段由点构成”，但必须承认点具有一个“无限小”（变量）的测度，即点具有既是零又不是零的测度；另一种认识是否认线段由点构成，即线段不是由点构成，线段本身是一个具有测度的基本数学抽象对象，点不属于线段，点是我们强加给线段的，点仅仅是测度、位置的描述工具.这两种解释都能很好的解决连续、离散问题，因此正确理解和把握“有限无限矛盾”、坚持对无限的辩证认识是数学界、哲学界彻底解决数学危机的本质所在，对于健全数学基础大厦也有着极大的指导意义.雨果：“莎士比亚首先是一种想象，……科学到了最后阶段，便遇上了想象.”

“非标准分析”的成功构建表明，对无穷小量这一含混甚至可能导致荒谬的概念进行重新分析，萃取其合理内核，扩展新的知识因子并赋予严格的数学阐述，是数学创造可以选择的一种有效途径.我们可以把“非标准分析”的理论构造看作是一个黑格尔“否定之否定”论断的典范.虽然无穷小量在使用之初遇到了难以克服的逻辑悖谬，但是正如鲁滨逊所言：“无论如何，在微积分学的形成阶段无限小是被广泛运用的.”

非标准分析运用无穷小量直观模型处理微积分的方法，摆脱了“ε—δ”极限定义的抽象与复杂是较为直观、明显的，也更深刻、有趣些，而且更便于发现新成果.非标准分析是范围广泛的一个学科，涉及到了代数论、李群、拓扑学、泛函分析、概率论等数学学科，直到非标准动力学、流体力学、量子力学及量子场论等各个方面.更为重要的是，非标准分析为数学提出了一个更为微观的数域，它标志着人们对时空、数量的观念进入了一个新的阶段.

定义：如果函数f(x)当x→Xo(或x→∞〉时的函数极限为零，那么称函数f(x)为当x→Xo(或x→∞)时的无穷小量.

注意:①无穷小量是一个与它的变化过程紧密相关的变量，而不是一个确定的值.②无穷小量，顾名思义就是非常小的无限接近于零的数是变量，所以说绝对值很小的数并不是无穷小量，包括0在内.③无穷小量和有界函数(常数〉的乘积依然是无穷小量.

在标准分析中无限大和无限小是一个变量，在非标准分析中无限大和无限小是超实数集的元素，这是实无限观的体现，当然实无限观也存在一定的局限性.根据唯物辩证法分点应该可以继续分割，在解决微积分问题的过程中，可以不予考虑.康扥尔:“在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要.”

非标准分析理论的出现表明，自然科学只有从科学实践中逐步树立起正确的哲学观，才能理解科学理论，理解自己所从事的科学的真正作用和价值.在非标准分析中出现的新思想、新方法对于数学的发展及其应用必定会产生深远的影响.古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯的科学美学思想，是简单性思想的最原始的表示，他认为天体是按一定的和谐的数的关系运动的，形成“天体和谐”，甚至天体的数目也具有完美性，并希望从自然界的各种现象中找出具有普遍性的“数”以及规律，这是人类首次对科学理论提出数学要求和美学标准.毕达哥拉斯还认为，地球和整个宇宙的结构都是球形的，球形是一切几何形体中最完美的形状，宇宙中的各种天体均作匀速圆周运动，因为圆是表面上最完美、最简单的几何图形.这一观点深深地影响了后来的天文学，托勒密和哥白尼都坚信天体运动所作的是匀速圆周运动，直到开普勒证明了实际上它们在作椭圆运动，牛顿后来用万有引力定律进一步验证了天体是作椭圆运动的.

毕达哥拉斯学派“简单、和谐、完美”的思想成为后来宇宙规律性一次又一次被更清晰、更准确地说出来的深刻的哲学思想基础，对后人的科学研究工作产生了重要的影响，也成为今天我们值得回味和传承的人类精神的火花，是简单性原理的最启蒙思想.