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超实数集^*R的引入

科学思潮发生于某一个或少数几个成功的理论.它回答那个时期自然科学所面临的主要问题，其思想具有一定的方法论意义，其影响远远超出了赖以发生和生长的那个学科，它得到科学家的广泛承认，是当时科学发展的主流之一.科学思潮是科学思想流动几率比较大的轨道.那些分散的、杂乱取向的思想很快就被吸引到它的周围，或者保持一段相当大的距离.有些科学家一旦发现自己的思想离这条轨道较远，也会自我调节，顺应思潮的趋势.科学思潮集中反映了当时科学发展的水平.-----林德宏

欧氏平面、仿射平面、射影平面的区别在于：欧氏平面上没有无穷远元素，平行线存在而不相交；仿射平面上平行线存在，相交于无穷远处；射影平面没有无穷远元素（与有穷元素不加区别，同等对待），平行线不存在.

张卜天译《几何原本》卷一定义： 【1 点是没有部分的东西】【3 线之端是点】【4 直线是其上均匀放置着点的线】  问题：仅有的两个“其上均匀放置着”点的结果是线段、曲线、直线还是什么？ 线是由点组成的，但是点从来没有明确过作为线的单位（单元？）.一根线段的单位（单元？）是合理给出的，或者是随意指定和特别指定的？

张卜天译《几何原本》卷七定义：【1每一个存在的事物凭借单元而称之为一.】【2一个数是由若干单元组成的“多少”.】张卜天译《几何原本》卷7第16命题中讨论了两个数相互相乘的内容.

马克思、恩格斯曾建议数学家用唯物辩证法的方法，去研究数学分析的理论基础，使分析的基础产生实质性改变.王令隽认为：“至于理论的数学表述，科学家遵循的原则是，在充分必要的条件下越简单越好.”数学中的每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着.这些工具和方法同时有助于理解已有的理论并把陈旧的、复杂的东西抛到一边.数学科学发展的这种特点是根深蒂固的.由哥德尔不完全性定理：任意理论不能递归公理化，也即告诉我们：任何一个充分丰富的形式系统，如果它是和谐的，则该系统内存在这样的语句，使与非在系统内部都不可以证明的.这个定理说明，任何形式体系都不能囊括一切，都是不完全的.当然在数学分析这个逻辑体系中，如果把它看成数理逻辑中所定义的形式系统，根据哥德尔不完全性定理，也必然会有它自身不可克服的矛盾，实数确实如此.诺瓦列斯认为：纯数学是魔术家真正的魔杖.

鲁滨逊采用“模型论”这一新的数理逻辑工具构造了一个“非标准模型”，其基本思想是引进非标准实数概念，把实数域R扩展为非实数域*R.*R是一个高阶非标准模型.且满足*N(非标准算术)所具有的如下4条性质：

(i)每一数学概念对自然数系统有意义者对*N也有意义.特别地，加、乘和序对*N有定义.

(ii)每一数学陈述对自然数系统有意义且成立者对^*N也有意义且成立：条件是，当提到任何特定的型的对象，例如集、关系或函数等，我们不把它们在^*N内解释为该型的对象的全体，而解释为某一子集，即称为该型的内对象的集合.例如若此陈述包含一短语“对于数的一切集”，我们把这解释为“对于数的一切内集”.同样，短语“存在一数集”，“存在一函数”，分别解释为“存在一内集”，“存在一内函数”.但^*N的一切个体是内的：短语“对一切数”在*N内解释为“对^*N的一切个体”.

(iii)^*N内的内对象系统有以下性质：若S是一些关系的内集，则S的一切元是内的.更广泛些，若S为一内的n元关系，n≥1，且n元组(）满足(属于)S，则都是内关系.

(iV)^*N真正包含自然数系统N；在^*N内有一个体(按照定义于N与^*N内的序关系)比N内一切数大

定义实数域R的一个真的有序域扩张R^*称为一个超实数域.

由于R^*是有序域，所以R^*对和、差、积及商（分母不为0）封闭，并且可像任何一个有序域一样来定义绝对值的概念以及建立绝对值的那些通常用到的性质.又因为R^*是R的一个真的有序域扩张，所以R^*-R非空，并且R^*的序是R的序的自然扩张.把R的元素称为标准实数或实数，而把R^*-R的元素称为非标准实数，超实数集由标准实数和非标准实数组成.超实数集的引入是一种实无限观的体现.

与R相比，^*R具有R的若干性质，如^*R也构成一有序域.与R不同的是，^*R把无穷大和无穷小包括在内，成为其元素.^*R有与实数系R十分不同的结构，它打破了“点无结构”的传统观念.在非实数域^*R中，实数集R所具有的阿基米德性质不再具备.这是因为，虽然R是^*R的一个子域，但*R包含了大于R中一切数的数，所以，在^*R中有a，使得1+1+…+1＜a成立，这里不等式左端表示l的有限次叠加.这样一来，阿基米德性质就被破坏了.从实数集的角度来看，数轴上每一个点对应一个实数，实数集是连续集；从超实数集的角度看，实数集是离散的，超实数集是连续的，符合离散与连续的相对性与绝对性原理.

非标准分析中引入超实数系统的方法是通过引入无穷单位元Ω，它满足以下两条性质：（1）Ω具有正整数的一切性质，可以像一个正整数那样与其他的数比较大小，可以像一个正整数那样进行各种运算，服从同样的运算法则.（2）Ω大于任何实数.实数域R中引进了无穷单位元Ω以后，就可以扩充成为一个更大的数系，即“超实数域”，记为^*R ，从而将实数扩充为“超实数”.

德国著名理论物理学家海森堡说：“二千五百年以来，哲学家和自然科学家一直在讨论这个问题：如果人们试图［几何地］把物质一次又一次地不断分割下去，将会出现什么情况？什么是物质的最小成分？不同的哲学家对这个问题作出了很不同的回答.所有这些回答都对自然科学的历史产生了影响.最著名的回答是哲学家德谟克利特、柏拉图、亚里士多德和他的中世纪的继承者，……所有这些哲学家有一点是共同的，他们不管怎样都想解决无穷小的二难推论，众所周知，康德对这个问题作了详尽的讨论.……康德的二难推论：一方面很难设想物质总是可以一次又一次不断分割下去，但是另一方面也很难设想，这种分割必然有朝一日到一个终点.”回溯到一个世纪前，法国的胚胎学家海克尔发现，从种细胞成长为成熟的个体，高等生物都要经历一个胚胎发育的过程，而这个过程正是该物种长期进化历史的迅速而短暂的重演.此即“生物重演律”.重演现象其实是自相似规律的一种反映，除了生物进化外，在其它领域里也屡见不鲜.

由洛必达写成的第一本关于微积分的教科书中提出了两个公理：

公理1：如果两个量之间只差一个无穷小，那么可以不加区别地用一个量代替另一个量，即任何有限数都可以表示为a=标准实数+无限小.

公理2：曲线由无限多条无穷小的直线段组成.

数学分析中最集中的基本矛盾是由等式反映的.是自变量，而是的极限，其本质上有，因此就其本质上看，而实际上；然而如果不承认，势必使数学分析中相当多的一部分理论和运算无法建立.于是我们可以得到这样两个结论：

结论一：上诉意义上数学分析理论在实数域这一结构上是不完全的.

结论二：若存在这样的数域它包含了非零的无限小量且中基本的性质中这个新数域也满足.

数学中每一步真正的进展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论，并把陈旧繁杂的东西抛到一边.数学科学发展的这种特点是根深蒂固的.因此对于个别的数学工作者来说，只要掌握了这些有力的工具和简单的方法，他就有可能在数学的各个分支中比其他科学更容易地找到前进的道路.德摩根认为：数学发明创造的动力不是推理，而是想象力的发挥.