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实数集的测度问题

即使观念世界是不能用逻辑的工具从经验推导出来的，而在某种意义上是思维的自由创造，但这个观念世界还是一点也离不开我们的经验本性而独立，正像衣服不能离开人体的形状而独立一样.他强烈反对那些先验论哲学家，他们把基本概念从经验领域里排除出去，而放到虚无缥缈的先验的顶峰上去.他并不认为思辨比经验高超，并明确指出：“一个希望受到应有的信任的理论，必须建立在有普遍意义的事实之上.

不可测集给标准实数理论带来的麻烦相当大，因为它的存在以至于数学家要给出一系列相当深奥的定理，而现代的积分理论要求被积函数最起码是可测函数，如果函数不可测，也就不可积，为证明函数的可积性证明各种定理.

在各个实变函数教材中这不可测集是这样定义的，首先将[0,1]区间中的所有实数进行分类，凡是两个实数相差一个有理数，就是一类，这样的类集有无限多个，而且相互之间并不重合，且覆盖了[0,1]区间所有的数.根据选择公理，每一个这样的非空集必然可以取出一个元素作为这个集合的代表，所有的代表都来参加一个代表大会，这个代表大会组成的集合，就是我们将要证明其为不可测的集合，称其为F.为证明这一点，先将区间[-1,1]中的所有有理数排成一列为{r₁,r₂,r₃,…}，因为有理数是可数集，这总是可以做到的，而如果将代表大会F中的所有元素统统加上r₁后构成一个新的集合F₁，也就是将原来代表各个类的所有代表统统开除后用比各个代表多r₁的数，即新的代表来代替，当然这新的代表有可能超出1或者小于0，但决无可能超过2或小于-1，当超出1或者小于0时，也还是可以做为被它平移的原来的类的代表.这F₁当然和F不相交，用同样的办法针对每一个有理数r_i构造相应的集合F_i，则所有这些集列F₁,F₂,…相互之间不相交，它们的并将覆盖[0,1]区间，但被[-1,2]区间所包含，因此，它们的并如果有测度，其测度一定是不小于1且不大于3的值，这些集合都由同样的集合平移后构成，其测度也就都一样，而无穷个同样的数相加之后既不是无穷大也不是0在标准分析看来是不可能的，因此只能得出结论，F不可测.

因为非标准分析已经扩大了标准实数域到超实数域，即承认有小于任何正的标准实数但大于0的数以及大于任何正的标准实数的数存在，定义整个实数轴的测度为δ，而所有正整数的个数为实数轴长度的一半δ/2，这是因为，大于零的实数轴的长度为整个实数轴的长度的一半，当然就是δ/2，而将正实数轴划分成(0,1],(1,2],(2,3],…，将其称为第一区间，第二区间，等等，这样总共的区间数就是正整数的个数，这些区间的长度都是1，因此总长度也就是正整数的个数，即正整数的个数为δ/2.本文令Δ=δ/2，则Δ为全体正整数的个数.因此非标准分析并不用“可数个”或者“不可数个”来简单地规定无限集的势.所谓集合的势即为集合的个数，那么既然正整数的个数为Δ，整数的个数为2Δ+1,正偶数的个数和正奇数的个数均为Δ/2，所有5的倍数的全体的个数为Δ/5，等等.正整数对的个数为Δ²，而正有理数的个数要比正整数对的个数少一些，因为要去掉能通约的数对，则为Δ²-g，g是比Δ低阶的正无穷大数.

现在来看标准实数的个数.首先来看[0,1]区间中有限位小数的个数.先统一将小数表示为二进制，则[0,1]区间的n位小数的个数就是2的n次方个.而从非标准分析的观点看，[0,1]区间的实数是Δ位的小数，则共有2的Δ次方个即2^Δ个，而整个实数轴共有2Δ=δ个单位区间，因此共有2Δ×2^Δ个标准实数.正如[0,1]区间中的n位小数无法和整个实数轴上的n位小数一一对应一样，[0,1]区间中的标准实数也无法和整个实数轴上的标准实数一一对应，即将n位小数的性质延拓到整个标准实数轴.这一点和原来的实变函数理论并不一样.当然，既然已经规定实数的小数位用二进制表示总共有Δ位，那么用十进制表示就有Δlog₁₀2位，整个实数轴上的标准实数个数仍保持不变，标准实数的个数是一硬性规定.

现在来解决测度问题就简单了，因为单个的标准实数也有测度，而我们知道[0,1]区间的测度为1，其中包括的实数的个数为2^Δ个，因此每个标准实数的测度也就是1/2^Δ.这和原来标准分析中的结论也不一样，在标准分析中单个点的测度为0，而在非标准分析中则认为是一个大于0的无穷小数，我们用θ来代表这个数，因此θ=1/2^Δ.

这么一来，所有的标准实数集都是可测集，在标准实数轴上的任何地皮买卖都可以正常进行，随便买者要求什么样的标准实数集合，都可以给出相应的测度，满足任何可加性，不仅可数可加性，甚至不可数可加性.无穷个同样测度的不相交的集合相并之后的测度完全可以是一个通常的即非0又非无穷大的正实数，无非是每个集合的测度是无穷小而已.

当然，如果将非标准数都算在内，也不能够保证其可测性.这是因为，如果将被测集合记为A，测量数集合记为B，则通常B的个数应当大于A的个数，否则测度就可能难以进行.拿有限集合为例，考虑集合{0,1,2,3,4}，总共有5个元素，如果每个元素的测度是1，则总测度为5，而，而以往的传统实数理论之所以会遇到不可测集，也是因为试图用标准实数来测标准实数.而非标准分析则用非标准实数来测标准实数，当然就不存在不可测集问题了.

辩证法之所以会产生是由于单一的概念、词汇、命题对于复杂的客观事物的信息量不够.相对于客观实际而言，这些命题实际并没有界定清楚，从而要想客观地反映现实世界，必须对单一概念、词汇、命题进行扩充、说明、界定，也就是要对单一命题施以限制条件或者给出其存在的条件，形成复合命题，而这些条件在只有单一命题时都是隐含的.特别地，一些单一的矛盾命题（如好、坏等），或虽不矛盾、但含义相反的命题（如有优点、有缺点等），在加进条件命题变成复合命题后，完全可以不再矛盾.此类命题称之为辩证命题或复合辩证命题.歌德认为：理论是灰色的，而生命之树长青.人之所以迷信，只是由于恐惧；人之所以恐惧，只是由于无知.