1908年，朗之万根据牛顿第二运动定律，建立了描述单个布朗粒子随机运动的动力学方程，即著名的朗之万方程（Langevin Equation）：

式中m为布朗粒子的质量，γ为液体阻尼系数，F(t)为液体分子对布朗粒子高频碰撞产生的随机作用力。

《统计物理学》首先认为当液体的黏滞阻力很大时，朗之万方程左边的惯性项可忽略不计，推导出了简化的朗之万方程：

《统计物理学》随后又假设随机力F(t)为高斯白噪声，从而得出了布朗粒子瞬时速度为白噪声的结论，即

式中n(t)为平均功率为N₀的高斯白噪声。

因此布朗粒子在t时刻的位移可表示为：

自然科学、工程技术和社会科学均根据上式用计算机模拟单个布朗粒子的位移轨迹。

2010年，美国得克萨斯大学的李统藏利用激光光镊技术首次实验测量到了悬浮布朗粒子的瞬时速度，实验结果表明：布朗粒子瞬时速度为白噪声。

《统计物理学》虽然通过忽略惯性项和假设随机力为白噪声得出了与实验结果相符的“布朗粒子瞬时速度为白噪声”结论，但是“布朗粒子瞬时速度为白噪声”的结论却表明：

（1）惯性项数值远远大于黏滞阻力，惯性项不能忽略不计，可忽略不计的是黏滞阻力；

（2）随机力是功率谱密度与频率的平方成正比的紫噪声，不是功率谱密度在整个频率轴上均匀分布的白噪声。

首先，《统计物理学》认为朗之万方程惯性项可忽略不计，实质上是假设惯性项为零，即

由于布朗粒子的质量m≠0，因此忽略惯性项的本质是假设布朗粒子的瞬时加速度为零（瞬时速度为常数），即将瞬时速度随机变化的布朗运动假设为确定性的匀速运动，犯有严重的基本概念错误。

另一方面，布朗粒子的瞬时速度为平均功率有限的白噪声，而白噪声的微分（布朗粒子加速度）波形则是一串宽度无限窄、幅值无限大、方向变化极快的随机脉冲，因此朗之万方程中的惯性项要远远大于黏滞阻力，黏滞阻力可忽略不计，简化的朗之万方程可写为

上式表明：随机力与白噪声的微分成正比，因此，随机力是功率谱密度与频率的平方成正比的紫噪声，而不是功率谱密度在整个频率轴上均匀分布的白噪声。

总之，《统计物理学》从“布朗粒子加速度等于零”和“随机力为白噪声”这两个错误假设推导出了与实验结果相符的结论（布朗粒子瞬时速度为白噪声），但我们从“布朗粒子瞬时速度为白噪声”又可推导出“布朗粒子加速度等于零”和“随机力为白噪声”这两个假设不成立的命题，因此，《统计物理学》布朗运动理论在逻辑上不能自洽，出现了自相矛盾的逻辑悖论。

悖论在物理学的发展过程中起着相当重要的作用，悖论的解决不仅会促进物理学的创新发展，甚至导致一场科学革命。

参考：

[1] 郝柏林. 布朗运动理论一百年[J]. 物理，2011(1) :1－7．

[2] 张太荣. 统计动力学及其应用[M]. 北京:冶金工业出版社，2008.

[3] 朗之万方程中的随机力是白噪声吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1445098.html

[4] 高宏.质点随机运动学与动力学[J].广西物理,2021,42(02):26-30.

https://blog.sciencenet.cn/blog-3418723-1397069.html