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极限思想与对立统一规律之间的关系

对立统一的规律是唯物辩证法的基本规律，揭示事物的本质，人类社会和人的思想是相互联系的，相互排斥的两个方面，相互矛盾，相互接触，这两者是相互矛盾的.双方的团结和斗争正在推动事态的变化和发展.在微积分中，极限是最基本和最重要的概念之一.它充分体现了对立面的统一，通过有限的理解反映了人们的无限的辩证规律.

1.极限思想是变与不变的对立统一

“变”与“不变”反映了客观事物运动变化与相对静止两种不同状态，不变是相对的，变是绝对的，但它们在一定条件下又可相互转化.例如平面内一条曲线C上某一点P的切线斜率为.除P点外曲线上点的斜率k是变量，是不变量，曲线上不同的点对应不同的斜率k，斜率k不可能等于，k与是变与不变的对立关系；同时，它们之间也体现了一种相互联系相互依赖的关系.当曲线上的点无限接近P点过程中，斜率k无限接近，变化的量向不变的量逐渐接近.当无限接近的结果产生质的飞跃时，变量转化为不变量，即“变”而“不变”，这体现了变与不变的统一关系.恩格斯所说，“直线和曲线最终等同于微积分.”矛盾是普遍存在的，矛盾的双方彼此相互依赖并存，并存在着由此及彼的桥梁.微分与积分问题是微积分中的两个对立统一的概念，是解决实际问题中的“变与不变”、“有限与无限”、“近似与精确”的有力数学工具，微分解决“局部”问题，而“定积分”解决的是“全局”问题，微分和积分是统一变量（增量与原函数）的不同反映（局部与全局），是对立统一下的互逆关系.这不仅是思维的巧妙，更是哲理的艺术.微积分充满矛盾.常量与变量，有限和无限，连续和不连续，直线和曲线是两个矛盾.它们相互对立，但在一定条件下相互依存，相互转化.

2.极限思想是过程与结果的对立统一

过程和结果在哲学上是辩证统一的关系，在极限思想中也充分体现了结果与过程的对立统一.在上例中，当曲线上的点无限接近点P的变化过程中，k是变化过程，是变化结果.一方面，无论曲线上点多么接近点P，都不能与点P重合，同样曲线上变化点的斜率k也不等于，这体现了过程与结果的对立性；另一方面，随着无限接近过程的进行，斜率k越来越接近，二者之间有紧密的联系，无限接近的变化结果使得斜率k转化为，这体现了过程与结果的统一性.所以，通过研究曲线上点斜率k的变化过程得到P点的斜率就是过程与结果的对立统一.

3.极限思想是有限与无限的对立统一

在辨证法中，有限与无限是对立统一的.无限与有限有本质的不同，但二者又有联系，无限是有限的发展，同时借助极限法，从有限认识无限.例如在极限式a_n=a中应数列中的每一项，这些不同的数值既有相对静止性，又有绝对的运动性.数列中的每一项和都是确定不变的量，是有限数；随着n无限增大，有限数向无限接进，正是这些有限数的无限变化，体现了无限运动的变化过程，这种无限运动变化结果是数值.因此在极限思想中无限是有限的发展，有限是无限的结果，它们既是对立又是统一的.

4.极限思想是近似与精确的对立统一

近似与精确是对立统一的关系，在一定条件下可相互转化，这种转化是理解数学运算的重要方法.在极限抽象的概念中，引入实例如“圆内接正多边形面积”，其内结多边形面积是该圆面积的近似值，当多边形的边数无限增大时，内结多变形面积无限接近圆面积，取极限后就可得到圆面积的精确值，这就是借助极限法，从近似认识精确.又如在极限式a_n=a中，当n无限增大时，数列的项，，…，反映变量无限的变化过程，而反映了变量无限变化的结果，每个都是的近似值，并且当n越大，精确度越高；当n趋于无穷时，近似值转化为精确值.虽然近似与精确是两个性质不同、完全对立的概念，但是通过极限法，建立两者之间的联系，在一定条件下可以相互转化，因此近似与精确既是对立又是统一的.

5.极限思想是量变与质变的对立统一

辩证唯物主义认为，一切物质都是质量和数量的统一。物质交换规律表明，事物的发展有两种基本形式，即量变和质变.前者代表物的增减，数量上的特点.是一种连续的、在度的范围内发生没有重大的变化，后者是事物性质的变化.进步进程的中断，从一个种质到另一个种质的转变。是对原有度的突破。在唯物辨证法中，任何事物都具有质和量两个方面，都是质和量的统一体.质是指事物成为它自身并区别于其他事物的内在规定性，量是指事物存在的规模、发展程度和速度，以及它的构成成分在空间上的排列组合等可以用数量来表示的规定性.量变和质变既有区别又有联系，两者之间有着辩证关系.量变是质变的准备，量的变化达到一定的度，就不可避免地引起质变，只有质的变化才是事物根本性质的变化，量变质变规律在数学研究工作中起重要作用.对任何一个单位圆的内接正多边形，事物的质是圆的内接多边形，量是内接多边形的边数，当边数无限增加，得到的仍是圆内接正多边形，是量变，不是质变，量变体现事物发展的连续性，在事物量变过程中，保持事物本身质的稳定性.但当边数增加的无限过程中，由于量的动态变化，多边形越来越接近圆，为质变创造条件，多边形面积就变转化为圆面积，促进量质转化，达到矛盾统一.

微积分中常用的一种方法是求极限，极限实际上是无穷接近的过程，它是一个“度”。当没有达到这个程度时，它只是数量的积累（量变） 过程，一旦超出这个程度，就会发生近似精确的质变。如在梯形面积计算中，通过分段、近似代换和求和得到梯形面积的近似值。这个过程是量变的过程，在这个过程中没有质的变化。然而，如果分割是无限加密的，且每个梯形边缘的宽度趋于零，则将得到梯形的精确面积。这时，必然会发生从量变到质变，这是定积分理论的基本思想。

6.极限思想是否定与肯定的对立统一

任何事物的内部都包含着肯定因素和否定因素，都是肯定方面和否定方面的对立统一.单位圆和它的内接正多边形分别是两个事物的对立面，内接正多边形是事物对自身的肯定，其中也包含着否定，这种内在的否定因素是通过圆内接正多边形边数的改变而体现的.随着圆内接正多边形的边数逐渐增加至无穷时，内接多边形的面积转化为该单位圆的面积，促使该事物转化为自己的对立面，由肯定达到自身的否定，这体现了否定与肯定的对立；圆的内接正多边形和圆虽是两个对立的事物，但是二者之间有紧密的联系，圆内接正多边形的面积可以转化为圆的面积，而单位圆是通过逐步增加内接正多边形的边数来实现的，从而建立了这二者的联系，体现了否定与肯定的统一.

极限理论的导数值是正确的，它的正确性已经被无数的客观实践证明了.然而，导数值的正确并不是极限概念的功劳，而是极限理论或标准分析法或第二代微积分把无穷小量分析法或第一代微积分猜对的导数值抄袭过来了.极限理论抄袭了正确的导数值以后，就按照这个正确的导数值，人为地设计了极限概念.所以，极限理论不是从客观实践中挖掘出来的理论，而是凭着想像编造出来的工具．所以，极限理论只是人为地绾了一个圈套让人们往里钻，而不是在客观实践中挖出来真正理论让人们去应用.

微积分的许多内容都与哲学存在着密切的联系，研究微积分中的哲学和辩证法规律对理解微积分的方法和实质都会有指导性的作用。同时，从哲学的角度来看待微积分，不仅是学习微积分的需要，也是教授和研究发展微积分的需要。在微积分的学习过程中，不仅要掌握这些数学分析的方法，我们必须理解这些数学方法背后的哲学。只有这样，我们才能更好地掌握微积分的本质，既能掌握知识，又能培养创造性思维能力。