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皮尔士对于连续与离散的认识

美国伟大的逻辑学家皮尔士(Peirce)非常重视对连续性的理解，他把连续性看作是实在中不可或缺的成分，认为它对于哲学具有第一重要性.他明确反对康托的几何连续统由算术上的阿基米德点的集合构成的观点，认为任何离散量不论有多大都不能充分说明线的连续性，认为实数集R不能充分说明几何连续统，认为从哲学上把握连续性是很困难的.他实际上是继承了亚里士多德、黑格尔的观念.皮尔士一生中花费大量精力用于研究连续性问题，他从先期赞赏康托的连续统观点，转变为后期对之深度怀疑，并提出了自己的解决方案.

他认为实数集不可能解释连续统的本性.在《皮尔士哲学的逻辑面向》中张留华描述道：“康托的定义‘有赖于度量考虑；然而连续系列与非连续系列之间区分显然是非度量的’.（CP6.121）直线的部分并非不可分的点，而是线段；任何线段的部分仍旧是线段，至少也可称为无穷短的线段.同时他认为，构成实线的那些点的数量必定远远大于任何康托所设想的集合，康托所定义的实数R不能充分说明几何连续统.由于线必定包含了所有可能的连续点，而实数集R只是对应于所代表的数量，因此它作为一种完成了的数量（asacompletedmultitude）不可能解释连续统的本性.”（张留华，p.334）；“他相信，数目（numbers）本身不可能完全解释连续统，数目所表达不过是离散对象的序，而任何离散量不论有多大都不能充分说明线的连续性.”（张留华，p.335）

皮尔士试图用“无穷小的线段”来解释“线段由点构成”，即连续性的线是由无穷小部分组成的.这是皮尔士先生解决矛盾的一种有益探索.在《皮尔士哲学的逻辑面向》中张留华指出：“皮尔士在1893年的一篇标号为MS955的手稿中断言，‘在连续性区域如连续性的线上存在有无穷短的连续着的线条.事实上，整个线是由这样的无穷小分部构成的’.……总而言之，康托的连续统R不可能包括全部的点，真正的连续统既包含非连续性的有理数、无理数，又包含作为‘额外可能性’的无穷小量.”（张留华，p.337-338）