序：

悉知，是数学 “寻根”工程导致 “终极大自然观”（简称本论），足可见数学之“根”通联著大自然，非同小可。

但是，“本论”之初是匆匆进入正题的，出于问题的重要性，在此熟悉了本论“梗概”之际，有必要对数学产生“寻根”的时代背景来个再认识，以飨广泛读者（任一门道对其历史的认识需求是随其认知的深入而深入的）。

具体说的是19世纪后半叶，这是数学的“爆炸”性发展时期，是形成“抽象数学”的时期，它孕育了20世纪的辉煌数学（为20世纪蓄势），也是现代集合论的萌芽时期。

时势造英雄，现代集合论之父康托尔（1845-1918，德）正是在这一环境中孕育成的。

一、此期是进入抽象数学的时期

1.1 分析学诞生

皆知，分析学起自17世纪后半叶的牛顿、莱布尼兹分别从运动学和几何学角度创建起来的微积分法，由于它（作为科学的一大突破）触及到了微观世界的“无穷小”、几何“点处”的本质特征，激起了数、理、哲的强烈争论，直至19世纪先后有了诸如“极限”概念的产生，狄特金等的实数完备性理论，柯西（1789-1857）对无穷序列的研究，分析学之父魏尔斯提拉斯（1815-1897）的贡献（诸如“点点连续点点不可导”例，语言）等，以及“极限论”（实则极限方法）的形成，总算暂时“平息”了这一旷日持久的争论（当然，离认识无穷小和无穷还远）。

但即便如此，也使得微积分法进入到微积分学（简称分析学）时代，对整个数学的影响更是产生了“爆炸”性发展。

总体特点是，不仅微积分概念得到迅速推广与引申，还使得微积分思想迅速渗透到其它基础性学科，比如除数论、代数、几何等基础学科外，还发展了实变函数、复分析、张量分析等等学科。

又一特点是，形成了注重于从“集合”出发的思维特征。

1.2 近世代数诞生

已知，它产生于伽罗瓦（1811-1832）对阿贝尔（1802-1829）证明的“五次及以上代数方程无一般解”，作“解集合”思考，从而首次提出了“群”概念。

伽罗瓦的这一成果是（经转托）于40年代发表的，70年代正式形成了“群”论分支学科。

“群”论的根本特点（相对于经典代数的“求根”特征来）：一是从“根集合”的思考升华成对一般（非数）“集合”作研究；二是对一般“集合”给出一种运算，统一记为“.”（可叫做“加”或“乘”及其逆运算）使之具备“封闭性”(保持在集合内)；三是对于一般集合给出的”运算“，其运算法则必然需要特别认定或叫特别”赋予“才行（也必然增加篇幅）。

这一来，“群论”很快在诸如物理学、化学中得到广泛应用（如旋转群、对称群之类即是）从而得到迅速发展。

进一步很快建立起了群、环、域（模）理论，统称近世代数，也叫抽象代数，直至发展成宏大的现代“代数学“。

显然，总体特点之一仍然是从“集合”出发的思维。

1.3 非欧几何诞生

来自讨论欧式《几何原本》的“第五公设”独立性，就此罗巴切夫斯基（1793-1856）于30年代首次突破性给出了“非欧几何”，世界为之一振（难于接受）。

特别在50年代进一步有了黎曼（1826-1866）从另一角度给出的非欧几何突破“黎曼几何”（具体是将欧式几何（平直空间，0曲率）中距离公式推广到一般空间（弯空间，非0曲率）量度公式），加上大神高斯的首肯，终于得到世界认同，从而立即引起了整个几何学的“爆炸”性发展。

一方面是形成了关于流形上数学的（全局分析的）长远而深刻的发展，简称“几何学”（具有代表性的学科才有资格用学科简称）。

另一方面是在它的影响下，其它几何分支也纷纷活跃起来，除解析几何、微分几何（局域）的外，比如还产生了默比乌斯“带”和克莱因“瓶”（1882），产生了（克莱因的）综合了多个分支学科的“爱尔兰根纲领”及其影响下的（彭赛列的）“射影几何”、“高等几何”等等。

特别还有（20世纪初）希尔伯特（1862-1943）对几何学的“特别”认识（试图以《几何基础》彻底澄清整个几何学）。

同样的，这时的研究仍然体现出更多从“集合”出发的思维特征。

二、现代集合论萌芽

带着“集合”概念不能不看到，“集合”意识已是数学在此期（19世纪后半叶）内可谓鲜明的思维特征了。比如除上述“抽象数学”的外，还能看到好些（于下世纪初才正式形成的）学科正是以“集合”特征孕育、萌芽于此期内的。

例如：

一是测度论，这是直接针对“集合”的理论，虽然它正式产生于（20世纪的）1914年，但源自19世纪末对低维实数集的研究（当其向高维进发时对其困难的突破而形成了测度论学科），比如在低维时的勒贝格测度（形成于1902年）即是直接针对“点集”的（也就是实数集上的）研究。，

注：正是测度论，获知稠密点集的测度为0，从而获知“无理数集”具全测度特性，产生了（也是导致本论的）“实轴结构之谜”。

二是数理逻辑，也说是“公理”、“集合”与“逻辑”结合的产物，其渊源远自莱布尼兹（1666年），近自布尔逻辑（1847年），成于弗雷格、罗素、皮亚诺（1894年），因此说它是形成于19世纪后半叶的。

（注：一度以为“数理逻辑”能导致数学的“完备”（找到数学的“根”），多亏哥德尔（1906-1978）的“不完全性定理”（30年代）校正了这一思风。）

三是拓扑学，已知，“拓扑学”作为“橡皮几何”是典型的（集合；公理，关系）模式，这是数理力学及哲学家庞加莱（1854-1912）于19世纪末提出的，由此还拓展出十分重要的“动力系统”理论。

特别是其（横梗数学一个世纪的）“庞加莱猜测”更是建立在对“无穷集”本质深刻理解基础上的。

总之，出于此期内数学的活跃性，所孕育的20世纪数学因素不少，除集合、测度之类既知的概念外，还有如“公理化”思想、“不变量”概念和“抽象空间”概念等都是此期内产生的。

三、康氏的睿智和担当精神

3.1 康氏意识到了数学谜题的特性：

成长于“集合”特征下（数学环境中）的康托尔，以超越于一般人的眼光注意到了数学史上诸多谜题的一个共同特点，那就是不仅都与“无穷”概念攸关，还来的更为深刻，具体说就是“无穷”的本质问题。

正是这一潜藏著的“无穷”本质，致使两千多年来的数学一直处于被动地位，以致（已知）相关谜题越来越多，简单的如无理数的终极位置？皮亚诺映射之为什么？等等或如（第二~第五）各讲中“遗留”的问题都是如此。

3.2 康氏毅然选择了探索“无穷集”本质：

须知，即使在（19世纪后半叶）“集合”时代，对“无穷集”的本质研究也是无人问津的。

也许是出于学生时被老师告诫“无穷是数学的地狱”了，或许是出于习惯性思维认为那是“上帝”的事（下意识的）不敢问津了吧。

却这正好给了康托尔以机会。

当然，这显然不是他的运气，而是来自内在气质（天赋+兴趣）的必然。

3.3 康氏迟到的“丰碑”：

已经知道了，正是康氏的毅然选择，使之踏上了艰辛历程尽管长期孤立无援、不受待见。

一方面是，他揭开了数学的潘多拉魔盒，一时间乱了阵脚，遭遇到精神和人际上的打击。

另一方面，当其“连续统猜测”引出了第三次数学危机时，显得十分尴尬。 

可是，数学终于在阵痛之余欣然意识到，数学尚需建立基础、数学尚需“寻根”（也终于寻到了“根”）；

不能不说，康氏集合论为数学树立起了一个“里程碑”。

因此，既是时代孕育了康托尔，又是康托尔创出了新的时代。

其它的都是前面讲过的了（兹免重复）。