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请教几个数学问题

克莱因讲：“现代数学面对的困境本将给数学家们一次喘息的机会，致力于思考这些新数学在逻辑上可能站不住脚的基础性命题.”浙江大学蔡天新教授是我国一位知名的数学家，2018年8月9日他在《南方周末》发表的文章《素数之缘》说：“一个数学问题一旦与素数发生联系，就会变得深刻，难度也骤然增大”.一个数学难题的重要性在于由它引出的理论是否丰富.

一、 真分数能写成自然数的倒数和，这是可以在数论里证明的.任何一个真分数是否都可以写成几个连续自然数的倒数和？

二、级数与无穷积分的敛散性的判别方法类似，其背后的实质是什么？

三、在费尔马大定理中指数为大于等于3的整数，能否推广为大于等于3的实数？指数为2时该方程有无数多组解，指数等于3时无解，何时有且只有一组解？

四、平面的圆周率等于π，球面的圆周率小于π，马鞍面的圆周率大于π，曲率与圆周率是否存在函数关系，如果存在函数关系，解析式为何？

五、对于某些函数勒贝格可积而黎曼不可积，背后是否有更深层次的原因？