不变子群与理想关系初探.doc

不变子群与理想关系初探

数学是研究结构的科学，数学的客观性必须同物理学的客观性区分开，也必须同现象描述的客观性区分开.一方面，这意味着一些结构被认为与它们在现实客体的出现无关，因此数学的客观性是一个现象学的客观性.另一方面，我们研究的数学结构与感觉现象所特有的复杂情况毫无共同之处.因此更容易概念化.关于这一点，我们可以这样说，数学研究的结构是理想化的结构.

不变子群的名称实际上通常叫做正规子群.正规子群和理想定义的引出因为他们是群（或者环）同态的核的形式.

理想在环论中的地位与不变子群在群论中的地位相似，但理想与不变子群有着本质的差异，为此先列出这两个定义：

不变子群的定义：一个群G的一个子群N叫做一个不变子群，假如对于G的每一个元a来说，都有Na=aN.

理想的定义：环R的一个非空子集合ц叫做一个理想子环，简称理想，假如（1）由a,b∈ц得a-b∈ц;(2)由a∈ц,r∈ц得ar,ra∈ц.

通过比较便可以清晰地看到它们的区别，在不变子群中要求：（1）任取a∈G，Na=aN，而在理想中则要求任取r∈R，任取a∈ц得ar,ra∈ц.显然在不变子群中任取a∈G，任取r∈N，ar,ra不一定属于N，譬如G=S₃，N=｛（1），（123），（132）｝是一个不变子群，N（12）=｛（12），（23），（13）｝，（12）N=｛（12），（13），（23）｝，N（12）=（12）N，但（12）、（13）、（23）均不属于N.同理，当环R为非交换环，且环R有真理想时，也推不出｛ra｝=｛ar｝，任取r∈R，a∈ц.鉴于此，笔者建议再定义理想子群与不变子环，从而进一步认识不变子群与理想的区别.

不变子环的定义：环R的一个非空子集N叫做一个不变子环，或正规子环，假如（1）由a,b∈N得a-b∈N;(2)由a∈N,b∈N得ab∈N;(3)任取r∈R,rN=Nr.

理想子群的定义：一个群G的一个子群N叫做一个理想子群，假如任取r∈G，任取a∈N得ar,ra∈N.

西尔维斯特曾经说过:“也许我可以并非不适当地要求获得数学上亚当这一称号，因为我相信数学理性创造物由我命名（已经流行通用）比起同时代其它数学家加在一起还要多……”