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引力场中的高斯定理

引力和静电力都是有势力，相应的引力势和静电势都满足三维空间里最简单的二阶（偏微分）方程——拉普拉斯方程.用ψ代表引力势或者静电势场，它在三维空间里所满足的拉普拉斯方程采取如下的形式：（¶²/¶x²+¶²/¶y²+¶²/¶z²）ψ(x,y,z)=0.由于相应的静电力和引力等于势的微分（的负值），它的大小便与半径r成反比了，即ψ（r）∝1/r,F(r)=- dψ/dr∝1/r²由于万有引力定律与Coulomb^,s  law本质是一样的，因此引力场中也存在高斯定理，并且与万有引力定律等价.

一、预备知识

引力场场强：引力场场强是一个向量，其大小等于1千克的质点在该处所受引力的大小，方向与该质点在该处所受引力的方向一致.

引力线：如果在引力场中出一些曲线，使这些曲线上每一点的切线方向和该点的引力场强方向一致，那么所有这样可以作出的曲线叫做引力线.

引力线数密度：在引力场中任一点取一小面元ΔS与该点的场强方向垂直，设穿过ΔS的引力线有ΔN根，则比值ΔN/ΔS叫做该点的引力线数密度，它的意义是通过该点单位垂直截面的引力线根数，规定引力场场强E∝ΔN/ΔS.

引力线性质：引力线其自无穷远点，止与该质点，引力线在宇宙中处处存在.一个质点的任何两条引力线不会相交，不形成闭合线.

引力通量：通过一面元ΔS的引力通量为该点场强的大小E与ΔS在垂直于场强方向的投影面积ΔS′=ΔScosθ的乘积.

二、引力场中的高斯定理

引力场中的高斯定理：通过一个任意闭合曲面S的引力通量φ=4πG∑m，与闭合曲面外的引力质量无关.

证明：（1）通过包括质点m的同心球面的引力通量都等于4πGm.

以质点m所在处为中心以任意半径r作一球面.根据万有引力定律,在球面上各点场强大小一样E=G m /r²,场强的方向沿半径向外呈辐射状.在球面上任意取一面元dS，其外法线向量n也是沿着半径方向向外的，即n和E间夹角θ=0，所以通过dS的引力通量为dφ=EcosθdS=EdS= G m /r²dS,通过整个闭合球面的引力通量为φ=dS= G m /r²×4πr²=4πGm.

（2）通过包围质点的任意闭合曲面S的引力通量都等于4πGm

在闭合面S内以质点m所在处O为中心作一任意半径的球面S′，根据（1）通过此球面的引力通量等于4πGm.由于引力场分布的球对称性，这引力通量均匀地分布在4π球面度的立体角内，因此在每个元立体角dΩ内的引力通量是GmdΩ.如果把这个立体角的锥面延长，使它在闭合面S上截出一个面元dS.设dS到质点m的距离为r，dS的法线n与场强E的夹角为θ，则通过dS的引力通量dφ=EcosθdS=Gm/r²cosθdS, cosθdS= dS′是dS在垂直于场强方向的投影面积，所以dφ=EdS′= G m /r²dS′= GmdΩ.所以通过面元dS的引力通量和通过球面S′上与dS对应的面元dS′′的引力通量相等，所以通过整个闭合面S的引力通量都必定和通过球面S′的引力通量一样，等于4πGm.

（3）通过不包括质点的任意闭合面S的引力通量恒为0.

因为单个质点产生的引力线是辐向的直线，它们在空间连续不断.当质点在闭合面S之外时，从某个面元dS上进入闭合面的引力线必然从另外一个面元dS′上穿出，而这一对面元dS和dS′对质点所张的立体角相等，通过dS的引力通量和通出dS′的引力通量的代数和为0，通过整个闭合面S的引力通量是通过这样一对对面元的引力通量之和，当然也是等于0的.

（4）多个质点的引力通量等于它们单独存在时的引力通量的代数和.

设物体有m₁.m₂.m₃…m_k个质点，其中第1到第n个被高斯面S所包围，第n+1到第k个在高斯面之外，则k个质点同时存在时通过S的引力通量为φ=φ₁+φ₂+φ₃+…+φ_n+φ_n+1+…+φ_k=φ₁+φ₂+φ₃+…+φ_n=4πG(m₁+ m₂+…+ m_n)= 4πG∑m.   证毕.

根据上面的结论可以证明，假设在地球钻一小孔，穿过地心，在小孔处放以不带电的粒子，粒子将做简谐振动.

三、引力场中的高斯定理的应用

下面的结论由容晓晖推导得出

（1）.  单个质点：（无限远为零势能点）；（2）.均匀质量球壳：当r<R时,，当r>R时,（相当于质量集中在球壳中心）

（3）.均匀质量的实心球体：当r<R时，，(笔者注：因此如果把地球看做一个质量均匀的球体，通过地球的直径凿一个小洞，在小洞内放一个质点，质点将做简谐振动.) 当r>R时，（相当于质量集中在球体中心）；

（4）.无限长的棒：（表示质量的线密度）；（5）.无限大的平面（一个）：

（6）.两个无限大的平行平面：两板之间， 两板之外（表示质量的面密度）

求万有引力场中的引力位，或引力位差（万有引力的位，或称为重力势能位）

1.  单个质点：（无限远为零势能点）

2.均匀质量球壳：当r<R时, （无限远为零势能点），当r>R时, （无限远为零势能点）

3. 均匀质量的实心球体：当r<R时，， 当r>R时，（无限远为零势能点）

 4.无限长的棒：（表示质量的线密度）；5.无限大的平面（一个）：

6.两个无限大的平行平面：两板之间（两板之间为零势能点），两板两（外）边（表示质量的面密度）

     笔者认为类似于静电场，在引力场中也可以建立安培环路积分定理，在此从略.