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多普勒公式在相对论力学中的应用

假设在P点处有一光源，以时间间隔dt"先后向O点发出两个光信号，若圆盘离静止坐标系s中观察者足够远，则两个光信号到达O的时间差为

                                              ，         （1）

其中α为t时刻光源的位矢与x轴之间的夹角，R表示光源对静坐标系原点O的位矢，第一项是由光信号传播需要的时间.由洛仑兹变换可知

，              （2）

所以，     （3）

因此，（4）

当时，圆盘退化成一点，有，即狭义相对论中的多普勒效应，结果和经典教材中的结果一致，进一步验证了狭义相对论中多普勒效应是也是坐标变换的结果.

若光源光波频率，光频率为，则算得：               （5）

式中，V为其相对运动速度，c为光真空中速度，为其相对运动方向与光传播方向的夹角。

这就是光波（电磁波）多普勒普遍公式。

若光源和观测者接近沿其连线方向，即时时，那么          （6.1）

这个时候，，谱线在向短波方向移动，称“蓝移”；

若光源和观测者远离是沿其连线方向，此时时，那么         （6.2）

这个时候，，谱线在向长波方向移动，称“红移”；

若观测者的运动方向在垂直于光源方向时，此时时，那么      （6.3）

这时候会发生横向多普勒效应，若时，               （7）

如果在某处只有一个辐射原子，光子辐射之前原子处于静止状态，相对于惯性系x轴方向速度为S，辐射量子跃迁之前的原子质量m₀是固定的.当原子发出光子，它必须反冲，以维持动量守恒，则射出量子的动量为.根据能量守恒定律有，式中T是原子的动能（发射后），是射出光子的能量.

若转变能为                                              （8）

则变为

该原子在发射前速度（S系中），发射后速度（S系中）.

能量守恒定律表示为                                    （9）

动量守恒定律表示为）                     （10）

                                              （11）

，

上述公式中，是与的夹角，是射出的光子与射出的光子的动量之间的夹角；而E是光子相对于S系的能量.

式（8）—（11）得：                          （12）

对于u=0情形，有                                         （13）

所以射出光子相对于S’系的能量.

将式（13）再代回式（12）得：                           （14）

即同一光子在两个惯性系的能量关系.

对于S’系，光子的能量和其频率的关系为                        （15）

对于S系，光子的能量E和其频率v的关系为                           （16）

将式（15）和（16）带入（7）得：

                                                        （17）

即相对论多普勒公式.其给出了一个光子在两个惯性系里能量之间的联系.

若射出的光子的动量方向与一致，即，则

上式即通用相对论多普勒公式.