Zmn-1165 薛问天： 函数的微分是ᐃx的函数，是允许ᐃx=0的。评师教民《1162》

【编者按。下面是薛问天先生的文章，是对师教民先生的《Zmn-1162》一文的评论。现在发布如下，供网友们共享。请大家关注并积极评论。另外本《专栏》重申，这里纯属学术讨论，所有发布的各种意见仅代表作者本人，不代表本《专栏》编辑部的意见。《专栏》中有些文章发扬了啄木鸟精神，对一些错误的观点和言论进行了说理的批评。但请大家注意，也有些有严重错误的文章在这里发布，就是为了引起和得到广大网友们的评论。不要以为在这里发布的文章都是正确无误的。】

函数的微分是ᐃx的函数，是允许ᐃx=0的。

评师教民《1162》

薛问天

xuewentian2006@sina.cn

1，师教民先生说【在微分的定义中，不允许有 Δx=0】。 师先生在教材中根本找不到这样的规定和字样，这完全是他的认识错误。要知道说【这就确定了......】这是师教民的话，不是教材中话。师先生找不出这样的原话，却换个口味说【 名著在定义微分 dy=AΔx 时，从来就未说过允许Δx=0．】这种推理是毫无道理的。未说过允许就是不允许吗？什么是ᐃx，它是变量x的增量，增量当然可以为0。当自变量的增量ᐃx=0时，函数的增量也有ᐃy=0。这是常规。允许 Δx=0是不需要说明的，未说允许推不出不允许的要求来。

在一个举例的画图中只画了ᐃx≠0的情况，师先生竟然说【 在该例的图中表明 Δx≠0】，错误地把这理解为不允许ᐃx=0。要知道未画并不等于不允许。

另外在证明可微就可导以及可导就可微时用到在求导数时有ᐃx在分母中出现，当然在求导数时要求ᐃx≠0。关于这点我们早己说清，微分允许ᐃx=0的意思是说ᐃx可以等于0。并不是说ᐃx不能不等于0，当然可考虑微分在ᐃx不等于0时的情况。例如在ᐃx≠0时有dy/dx=f`(x)。因而 微分在ᐃx≠0时有dy/dx=f`(x)，并不能说因此就不允许微分中ᐃx=0。

同理在证明可微可导等时，用到ᐃx≠0的情况，并不能说明不允许微分中ᐃx=0。

因而并不是我薛某【把自己的观点强加给了中名著】而是你师教民用【这就确定了......】把你说的【 在微分的定义中，不允许有 Δx=0】【强加给了中名著】。

师先生说【 如果允许 Δx=0，那么必有Δy=A*0+o(0)．因为 0 本身就是最高级的无穷小，所以 o(0)就不能再是比 0 更高级的无穷小了，所以 o (0)就成为错误．因为 o (0)的错误是允许 Δx=0 造成的，所以 o(0)的错误就证明了“允许 Δx=0”是错误的．】

说明师先生的认识错误，我们所说的允许ᐃx=0。是指变量ᐃx可取0为值，是指变量ᐃx的定义域可以包含0。因而当 ᐃx=0时，Δy=A*0+o(0)中的o(0)是函数o(ᐃx)在0点的值。由于我们知ᐃx=0时ᐃy=0。所以知这个值为0。即o(0)=0。这个函数o(ᐃx)在ᐃx=0时函数值为0，又因为它是ᐃx的高级无穷小，在ᐃx≠0时，当ᐃx→0时o(ᐃx)/ᐃx→0。这其中一点错误都没有。师先生所说的【因为 0 本身就是最高级的无穷小，所以 o(0)就不能再是比 0 更高级的无穷小了，所以 o (0)就成为错误．】完全是师先生的错误认识。

2，关于可导是可微的必要和充分条件的证明。

我们先来看可微即可导的证明。如果可微，则有Δy=Aᐃx+o(ᐃx)。前面讲过了，这个式子中允许ᐃx=0也允许ᐃx≠0。其中函数o(ᐃx) 在ᐃx=0时函数值为0，另一方面 o(ᐃx) 又是ᐃx的高级无穷小，在ᐃx≠0时，当ᐃx→0时o(ᐃx)/ᐃx→0。于是很清楚， 在ᐃx≠0时， 当ᐃx→0时有ᐃy/ᐃx=A+o(ᐃx)/ᐃx→A，即导数存在，从而证明了可微时可导。

师先生问【 问薛问天先生，你的在 Δx=0 时的导数dy/dx=dy/ᐃx是多少呢？ 】

要知道允许ᐃx=0，并不是不允许ᐃx≠0。我们求导数必须在ᐃx≠0的情况下求。所以 允许ᐃx=0仍然可以在ᐃx≠0的条件下求出导数等于A。

我们再来看可微即可导的证明。如果可导，则 在ᐃx≠0时， 当ᐃx→0时有ᐃy/ᐃx→A。因而在ᐃx≠0时，有Δy=Aᐃx+o(ᐃx)此式成立。另外再设函数o(ᐃx) 在ᐃx=0时函数值为0。从而此式在ᐃx=0时也成立，即证明了可微。

3，微分和导数。

这也是非常明确的，函数y=f(x)的两个微分定义为ᐃx的函数，dy=Aᐃx，dx=ᐃx.。这里的ᐃx可以等于0，即允许ᐃx=0。当然也允许ᐃx≠0。但函数的导数定义为当ᐃx→0时ᐃy/ᐃx的极限，要求必须有ᐃx≠0。

从而必须在 ᐃx≠0的条件下才有微商等于导数。即在 ᐃx≠0时有dy/dx=f`(x)。

要知道在微分中 允许ᐃx=0和允许Δx≠0 并不产生矛盾。第一代微积分是在求导数时要求必须 Δx≠0 和 同时必须Δx=0 这才产生了矛盾，即贝克莱悖论。

4，师先生对极限理论的歪曲。

师先生说极限理论是 【加上】和【去掉】【极 限符号】，【偷偷偷地把该极限值定义为 Δx=0 时的值】．这是师先生 的故意歪曲和诬蔑．极限理论有严格的定义和严格的数学推导，怎么能是随意的【加上】和【去掉】【极限符号】呢？我们讨论数学问题，要依据严格地逻辑推理，不能这样随意的歪曲和诬蔑。

师先生辩解说【前部加上极限符号、后部去掉极限符号是千真万确 的，故薛问天先生说的“怎么能是随意的【加上】和【去掉】【极 限符号】呢”就成了空喊口号、不说理由了，】

极限理论把导数严格地定义为ᐃy/ᐃx的极限lim[ᐃx→0](ᐃy/ᐃx)。怎么能说成是【 前部加上极限符号】。极限理论写出lim[ᐃx→0](2x+ᐃx)=lim[ᐃx→0]2x+lim[ᐃx→0]ᐃx。lim[ᐃx→0]2x=2x，lim[ᐃx→0]ᐃx=0。这都是根据极限规则进行的严格推导，怎么能说成是【后部去掉极限符号】呢？还说这是【千真万确】，请问你这是什么逻辑？

师先生谈了他对引入极限论的认识。他说【第一代微积分把 F(Δx)=2x+Δx (Δx 可等于 0)在 Δx=0 时 的值 2x+0=2x 直接定义为导数值；极限理论或第二代微积分把函数 F (Δx)=2x+Δx (Δx 可等于 0)在 Δx=0 时的值 2x+0=2x 先定 义为极限值，再把极限值定义为导数值．所以极限理论或第二代微积分只是把导数 2x+0=2x 定义前的名字函数值改成了新名字极限值，而在本质上还是和第一代微积分一样都是 2x+0=2x，因 此和第一代微积分一样存在 Δx≠0 和 Δx=0 的矛盾，亦即存在贝克莱悖论．】

从这段叙述中可以看出他的两个错误，第一，他根本没弄懂第一代微积分的错误在哪里。要知道第一代微积分的错误在于把导数定义为ᐃy/ᐃx。求导数时第一步在ᐃx≠0的条件下，可证F(ᐃx)= ᐃy/ᐃx=G(ᐃx)=2x+ᐃx，第二步，令ᐃx=0，使导数等于2x+0=2x。错就错在同时要求有ᐃx≠0和ᐃx=0，产生矛盾。

第二，他根本没弄懂第二代微积分如何克服了这一矛盾。第二代微积分把导数定义为当ᐃx→0时ᐃy/ᐃx的极限。第一步是同样的， 在ᐃx≠0的条件下，可证F(ᐃx)= ᐃy/ᐃx=G(ᐃx)=2x+ᐃx。第二步，不要求ᐃx=0。仍然坚持ᐃx≠0这个条件，由于ᐃx→0时函数的极限同ᐃx=0的函数值无关，所以我们知既然对所有ᐃx≠0的点，函数F(ᐃx)=ᐃy/ᐃx同函数G(ᐃx)=2x+ᐃx都相等，那么当ᐃx→0时，F(ᐃx)同G(ᐃx)的极限也相等。于是导数就等于G(ᐃx)=2x+ᐃx的极限。由于第二步 仍然坚持ᐃx≠0这个条件。因而第二代微积分并不存在同时要求ᐃx≠0和ᐃx=0的矛盾，从而完全解除了贝克莱悖论。所以认为第二代微积分【 和第一代微积分一样存在 Δx≠0 和 Δx=0 的矛盾，亦即存在贝克莱悖论．】就是错误的认识。

至于在这个例子中，刚好函数G(ᐃx)=2x+ᐃx。当ᐃx→0时的极限值等于ᐃx=0的函值,lim[ᐃx→0]G(ᐃx)=G(0)。这是偶合。遇到了G(ᐃx)=2x+ᐃxo是连续函数的情况。定义的导数仍然用的是在ᐃx≠0条件下的极限值。只不过在这种特例下，对于连续函数G(ᐃx)，ᐃx→0时的极限值在数值上等于ᐃx=0的函数值而巳。所以并不产生矛盾。关于这种用连续函数定义的导数，可参考我的一篇文章。

• Zmn-0995 薛问天 : 一种先暂不学极限来学习微积分的好 2023-8-5 08:21

请大家注意我们在这里所阵述的导数的定义。

【导数的定义】设有一函数f(x)，考虑增量比  Δy/Δx=(f(x+Δx)-f(x))/Δx。如果存在Δx的连续函数g(Δx)，使得对于所有Δx≠0时此连续函数g(Δx)等于增量比，即Δy/Δx=g(Δx)成立，则称f(x)在x点可导，且导数等于g(0)，记作f'(x)=g(0)。

这个定义可以证明是微积分学理论中关于导数的正确的等价定义。

5，在微分的定义中，函数的微分dy和dx是ᐃx的函数。是允许ᐃx=0的，当然也允许ᐃx≠0。而且论断在 ᐃx≠0时有微商等于导数，dy/dx=f`(x)。这很清楚，一点矛盾都没有。

师教民先不承认“微商=导数时【允许 Δx=0】”是他的观点，说这【肯定不是我的观点，我的观点在我的专著中，】但他逃脱不掉他错误地认为极限理论中论断微商=导数时允许 Δx=0。因为白纸黑字，他说 【极限理论在定义导数=微商的概念中，就出现了Δx≠0和Δx=0的矛盾，也出现了分母为0的情形．这个矛盾就是极限理论所犯重大科学错误的最根本的老底儿．】既然说了【 出现了Δx≠0和Δx=0的矛盾】。这里有ᐃx=0。自然逃脱不掉说了错话的责任。

另外，从师文中可以看出师教民先生的逻辑和概念很不清楚，相当混乱，但又不自覚，这是个很大的问题。例如师文中说【 全世界只有 薛问天先生一人允许函数 y=f(x) 在 Δx=0 处可微】。师先生，你说的【 函数 y=f(x) 在 Δx=0 处】，是什么意思。要知道函数y=f(x)是以x为自变量的。只能讨论函数在x的某点处可微，哪来的 【 函数 y=f(x) 在 Δx=0 处可微】。师先生还真的在说什么【 y=f(x) 在 Δx=0 处必可导，且导数dy/dx=dy/ᐃx=dy/0】。这纯粹是师先生的概念混乱，逻辑不清的表現。不知道师先生在说些什么。

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