文章导读

传统的分裂算法在解决包括两个算子和的单调包含问题方面发挥着不可或缺的作用，尽管如此，但它们不能直接应用于解决超过两个算子和的单调包含问题。

来自兰州大学数学与统计学院张国凤教授和宗春香博士与广州大学数学与信息科学学院唐玉超教授在Symmetry 期刊联合发表文章，介绍了一种变步长的松弛惯性前向-后向-半前向分裂方法，以解决涉及极大单调算子、余强制算子和单调Lipschitz算子和的单调包含问题。

余强制算子可以看作是单调Lipschitz算子，但反之不成立。如果将所提算法中的余强制算子看作是Lipschitz连续的，那么所提算法是对称的。然而，这样无法利用余强制算子的性质，导致算法的收敛性无法保证。

该项研究证明了所提出算法的弱收敛性，并通过对图像去模糊问题的实验验证了该算法的有效性。

FBHF、PD和RIFBHF目标函数沿运行时间的归一化误差

研究过程与结果

惯性是一种加速方法，它充分利用了前两次迭代结果来定义新的迭代的特点，是一种功能强大的方法。松弛方法在求解单调包含问题中起着关键作用，为迭代方法提供了更强的灵活性。特别是以一种利用其优势的方式将惯性参数和松弛参数结合起来，意义非凡。在（实）希尔伯特空间H中，我们专注于解决三个算子和的单调包含问题。

问题 (1) 涵盖了凸优化问题、信号和图像处理、鞍点问题、变分不等式、偏微分方程和类似问题中的许多复杂的模型。本文旨在开发一种松弛惯性前向-后向-半前向 (RIFBHF) 方法，该方法是FBHF方法[1]的扩展，通过结合惯性效应和松弛参数来求解 (1)。

值得注意的是，文献[1]中提出了FBHF方法求解带有约束集合 (x∈X) 的单调包含问题 (1)。为了简单起见，我们只研究 (1)。具体来说，所提的松弛惯性算法是从连续时间动力系统离散化的角度推导出来的，并在某些假设下分析了其收敛性。

我们还讨论了松弛参数与惯性效应之间的关系。由于复合算子L*BL的预解的估计通常具有挑战性，因此求解复合单调包含并不简单。通过借鉴文献[2]中的原始-对偶思想，复合单调包含问题可以等价的表述为 (1) 中的形式，从而通过我们的快速方法来解决。类似地，也解决了相应地凸最小化问题。最后通过数值试验验证了该算法的有效性。

(a) Barbara 的原始图像。(b) Barbara 的模糊图像。(c) FBHF 去模糊图像。(d) RIFBHF 去模糊图像。

研究总结

本文介绍了一种RIFBHF算法来求解问题 (1)，该算法的迭代序列是由连续时间动力系统的离散化推导出的，并在所提出的算法中引入了可变步长。同时，本研究还说明了所提出的迭代算法在合理参数条件下的理论收敛性，并讨论了松弛参数与惯性效应之间的关系。受原对偶思想的启发，将所提出的算法推广到求解复合单调包含问题和复合凸优化问题，并对其进行了收敛性分析。随后，在图像去模糊问题中进行了数值实验，验证了算法的有效性。

文章出自Symmetry

Zong, C.; Tang, Y.; Zhang, G. A Relaxed Inertial Method for Solving Monotone Inclusion Problems with Applications. Symmetry 2024, 16, 466.

免费阅读英文原文：https://www.mdpi.com/2748408  

参考文献

[1] Briceño-Arias, L.M.; Davis, D. Forward-backward-half forward algorithm for solving monotone inclusions. SIAM J. Optim. 2018, 28, 2839–2871.

[2] Briceño-Arias, L.M.; Combettes, P.L. A monotone+skew splitting model for composite monotone inclusions in duality. SIAM J. Optim. 2011, 21, 1230–1250.

Symmetry 期刊介绍

主编：Prof. Dr. Sergei D. Odintsov

Institute of Space Sciences (ICE-CSIC), Spain

期刊主题涵盖了所有科学研究中有关对称/非对称现象的理论和应用研究，主要包括数学、计算机、工程与材料、物理学、生命科学、化学等领域的最新进展。期刊已被 Scopus、SCIE (Web of Science)、CAPlus/SciFinder等多家知名数据库收录。

2023 Impact Factor：2.2

2023 CiteScore：5.4

Time to First Decision：16.8 Days

Acceptance to Publication：4.6 Days